Страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.20. Приведите дроби $\frac{5b}{8a^3}$; $\frac{7a}{3b^2}$; $\frac{1}{2ab}$; $\frac{2}{a^2b^2}$ к знаменателю $24a^3b^2$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю $24a^3b^2$, для каждой дроби необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него и числитель, и знаменатель исходной дроби. Дополнительный множитель находится путем деления нового знаменателя на старый.

$\frac{5b}{8a^3}$
1. Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель $24a^3b^2$ на знаменатель этой дроби $8a^3$:
$\frac{24a^3b^2}{8a^3} = 3b^2$
2. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $3b^2$:
$\frac{5b \cdot 3b^2}{8a^3 \cdot 3b^2} = \frac{15b^3}{24a^3b^2}$
Ответ: $\frac{15b^3}{24a^3b^2}$

$\frac{7a}{3b^2}$
1. Найдем дополнительный множитель для этой дроби:
$\frac{24a^3b^2}{3b^2} = 8a^3$
2. Умножим числитель и знаменатель на $8a^3$:
$\frac{7a \cdot 8a^3}{3b^2 \cdot 8a^3} = \frac{56a^4}{24a^3b^2}$
Ответ: $\frac{56a^4}{24a^3b^2}$

$\frac{1}{2ab}$
1. Найдем дополнительный множитель:
$\frac{24a^3b^2}{2ab} = 12a^{3-1}b^{2-1} = 12a^2b$
2. Умножим числитель и знаменатель на $12a^2b$:
$\frac{1 \cdot 12a^2b}{2ab \cdot 12a^2b} = \frac{12a^2b}{24a^3b^2}$
Ответ: $\frac{12a^2b}{24a^3b^2}$

$\frac{2}{a^2b^2}$
1. Найдем дополнительный множитель:
$\frac{24a^3b^2}{a^2b^2} = 24a^{3-2}b^{2-2} = 24a$
2. Умножим числитель и знаменатель на $24a$:
$\frac{2 \cdot 24a}{a^2b^2 \cdot 24a} = \frac{48a}{24a^3b^2}$
Ответ: $\frac{48a}{24a^3b^2}$

6.21. Упростите дробь и найдите числовое значение выражения:

1) $ \frac{a^2 - 8a + 16}{ax - 4x} $ при $ a=-5, x=-2; $

2) $ \frac{3x^2 - xy}{9x^2 - 6xy + y^2} $ при $ x=\frac{3}{4}, y=-\frac{2}{3}. $

1) Сначала упростим данное выражение. Числитель дроби $a^2 - 8a + 16$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. В знаменателе $ax - 4x$ можно вынести общий множитель $x$ за скобки.

$\frac{a^2 - 8a + 16}{ax - 4x} = \frac{(a-4)^2}{x(a-4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-4)$, при условии что $a-4 \neq 0$ (что выполняется, так как $a=-5$).

$\frac{(a-4)^2}{x(a-4)} = \frac{a-4}{x}$

Теперь подставим числовые значения $a = -5$ и $x = -2$ в упрощенное выражение:

$\frac{-5 - 4}{-2} = \frac{-9}{-2} = 4.5$

Ответ: 4.5

2) Упростим второе выражение. В числителе $3x^2 - xy$ вынесем общий множитель $x$ за скобки. Знаменатель $9x^2 - 6xy + y^2$ представляет собой полный квадрат разности $(3x-y)^2$.

$\frac{3x^2 - xy}{9x^2 - 6xy + y^2} = \frac{x(3x - y)}{(3x-y)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(3x-y)$, при условии что $3x-y \neq 0$.

$\frac{x(3x - y)}{(3x-y)^2} = \frac{x}{3x - y}$

Подставим числовые значения $x = \frac{3}{4}$ и $y = -\frac{2}{3}$ в упрощенное выражение. Сначала вычислим значение знаменателя:

$3x - y = 3 \cdot \frac{3}{4} - (-\frac{2}{3}) = \frac{9}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 3 + 2 \cdot 4}{12} = \frac{27 + 8}{12} = \frac{35}{12}$

Теперь подставим значения числителя и знаменателя в дробь:

$\frac{x}{3x - y} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{35}{12}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{35} = \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 35} = \frac{3 \cdot 3}{35} = \frac{9}{35}$

Ответ: $\frac{9}{35}$

6.22. Решите уравнение относительно x:

1) $ax - 2x = a^2 - 4; a \neq 2;$

2) $cx - dx = 5c - 5d; c \neq d;$

3) $cbx - abx = b^2c - ab^2; b \neq 0, a \neq c;$

4) $ax - bx = a^2 - b^2; a \neq b.$

1) Дано уравнение $ax - 2x = a^2 - 4$ с условием $a \ne 2$.
Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения: $x(a - 2) = a^2 - 4$.
Правую часть уравнения разложим на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$.
Получаем уравнение: $x(a - 2) = (a - 2)(a + 2)$.
Поскольку по условию $a \ne 2$, то $a - 2 \ne 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $(a - 2)$:
$x = \frac{(a - 2)(a + 2)}{a - 2}$.
Сократив дробь, получим: $x = a + 2$.
Ответ: $x = a + 2$.

2) Дано уравнение $cx - dx = 5c - 5d$ с условием $c \ne d$.
Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях уравнения:
$x(c - d) = 5(c - d)$.
Поскольку по условию $c \ne d$, то $c - d \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $(c - d)$:
$x = \frac{5(c - d)}{c - d}$.
Сократив дробь, получим: $x = 5$.
Ответ: $x = 5$.

3) Дано уравнение $cbx - abx = b^2c - ab^2$ с условиями $b \ne 0$ и $a \ne c$.
Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях уравнения:
$bx(c - a) = b^2(c - a)$.
По условию $b \ne 0$ и $a \ne c$, следовательно, $c - a \ne 0$. Значит, произведение $b(c - a) \ne 0$.
Разделим обе части уравнения на $b(c - a)$:
$x = \frac{b^2(c - a)}{b(c - a)}$.
Сократив дробь на $b$ и на $(c - a)$, получим: $x = b$.
Ответ: $x = b$.

4) Дано уравнение $ax - bx = a^2 - b^2$ с условием $a \ne b$.
Вынесем $x$ за скобки в левой части: $x(a - b) = a^2 - b^2$.
Правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Получаем уравнение: $x(a - b) = (a - b)(a + b)$.
Поскольку по условию $a \ne b$, то $a - b \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $(a - b)$:
$x = \frac{(a - b)(a + b)}{a - b}$.
Сократив дробь, получим: $x = a + b$.
Ответ: $x = a + b$.

6.23. Сократите дробь:

1) $\frac{ax+ay-bx-by}{ax-ay-bx+by}$

2) $\frac{ac-bc+ad-bd}{ac+bc+ad+bd}$

3) $\frac{ab+ac+b^2+bc}{ax+ay+bx+by}$

4) $\frac{(a+b)^2-c^2}{a+b+c}$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{ax+ay-bx-by}{ax-ay-bx+by}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель методом группировки.
В числителе: $ax+ay-bx-by = (ax+ay)-(bx+by) = a(x+y)-b(x+y) = (a-b)(x+y)$.
В знаменателе: $ax-ay-bx+by = (ax-ay)-(bx-by) = a(x-y)-b(x-y) = (a-b)(x-y)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a-b)(x+y)}{(a-b)(x-y)}$.
Сократим общий множитель $(a-b)$.
Получаем: $\frac{x+y}{x-y}$.
Ответ: $\frac{x+y}{x-y}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{ac-bc+ad-bd}{ac+bc+ad+bd}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе: $ac-bc+ad-bd = (ac-bc)+(ad-bd) = c(a-b)+d(a-b) = (c+d)(a-b)$.
В знаменателе: $ac+bc+ad+bd = (ac+bc)+(ad+bd) = c(a+b)+d(a+b) = (c+d)(a+b)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(c+d)(a-b)}{(c+d)(a+b)}$.
Сократим общий множитель $(c+d)$.
Получаем: $\frac{a-b}{a+b}$.
Ответ: $\frac{a-b}{a+b}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{ab+ac+b^2+bc}{ax+ay+bx+by}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе: $ab+ac+b^2+bc = (ab+b^2)+(ac+bc) = b(a+b)+c(a+b) = (b+c)(a+b)$.
В знаменателе: $ax+ay+bx+by = (ax+ay)+(bx+by) = a(x+y)+b(x+y) = (a+b)(x+y)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(b+c)(a+b)}{(a+b)(x+y)}$.
Сократим общий множитель $(a+b)$.
Получаем: $\frac{b+c}{x+y}$.
Ответ: $\frac{b+c}{x+y}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{(a+b)^2-c^2}{a+b+c}$, применим в числителе формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
В нашем случае $x=a+b$ и $y=c$.
Числитель: $(a+b)^2-c^2 = ((a+b)-c)((a+b)+c) = (a+b-c)(a+b+c)$.
Подставим разложение в дробь: $\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c}$.
Сократим общий множитель $(a+b+c)$.
Получаем: $a+b-c$.
Ответ: $a+b-c$

6.24. Упростите выражение:

1) $\frac{m^2 + n^2 - k^2 + 2mn}{m^2 - n^2 + k^2 + 2mk}$;

2) $\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - 2a^2 + 1}$;

3) $\frac{1 - 3b + 3b^2 - b^3}{c - cb + a - ab}$;

4) $\frac{x^2 - ax + bx - ab}{x^3 + bx^2 + ax + ab}$.

1) Упростим выражение $ \frac{m^2 + n^2 - k^2 + 2mn}{m^2 - n^2 + k^2 + 2mk} $.

Сначала преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат: $ m^2 + n^2 - k^2 + 2mn = (m^2 + 2mn + n^2) - k^2 $.
Выражение в скобках является квадратом суммы: $(m+n)^2$.
Таким образом, числитель равен $(m+n)^2 - k^2$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$ (m+n)^2 - k^2 = (m+n-k)(m+n+k) $.

Теперь преобразуем знаменатель. Также сгруппируем слагаемые для выделения полного квадрата: $ m^2 - n^2 + k^2 + 2mk = (m^2 + 2mk + k^2) - n^2 $.
Выражение в скобках является квадратом суммы: $(m+k)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $(m+k)^2 - n^2$. Применяя формулу разности квадратов, получаем:
$ (m+k)^2 - n^2 = (m+k-n)(m+k+n) $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь: $ \frac{(m+n-k)(m+n+k)}{(m+k-n)(m+k+n)} $.

Сократим общий множитель $(m+n+k)$: $ \frac{m+n-k}{m+k-n} $.

Ответ: $ \frac{m+n-k}{m+k-n} $

2) Упростим выражение $ \frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - 2a^2 + 1} $.

Разложим числитель на множители методом группировки: $ a^3 - a^2 - a + 1 = (a^3 - a^2) - (a - 1) = a^2(a - 1) - 1(a - 1) = (a^2 - 1)(a - 1) $.
Применив формулу разности квадратов $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$, получаем: $ (a-1)(a+1)(a-1) = (a-1)^2(a+1) $.

Знаменатель $a^4 - 2a^2 + 1$ является полным квадратом разности. Если сделать замену $x=a^2$, получим $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Следовательно, $a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2 - 1)^2$.
Разложим $a^2-1$ на множители: $(a^2-1)^2 = ((a-1)(a+1))^2 = (a-1)^2(a+1)^2$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $ \frac{(a-1)^2(a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2} $.

Сократим общие множители $(a-1)^2$ и $(a+1)$: $ \frac{1}{a+1} $.

Ответ: $ \frac{1}{a+1} $

3) Упростим выражение $ \frac{1 - 3b + 3b^2 - b^3}{c - cb + a - ab} $.

Числитель $1 - 3b + 3b^2 - b^3$ представляет собой формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. В данном случае, это $(1-b)^3$.

Разложим знаменатель на множители методом группировки: $ c - cb + a - ab = (c - cb) + (a - ab) = c(1 - b) + a(1 - b) = (c+a)(1-b) $.

Подставим полученные выражения в дробь: $ \frac{(1-b)^3}{(a+c)(1-b)} $.

Сократим общий множитель $(1-b)$: $ \frac{(1-b)^2}{a+c} $.

Ответ: $ \frac{(1-b)^2}{a+c} $

4) Упростим выражение $ \frac{x^2 - ax + bx - ab}{x^3 + bx^2 + ax + ab} $.

Разложим числитель на множители методом группировки: $ x^2 - ax + bx - ab = (x^2 - ax) + (bx - ab) = x(x-a) + b(x-a) = (x+b)(x-a) $.

Разложим знаменатель на множители методом группировки: $ x^3 + bx^2 + ax + ab = (x^3 + bx^2) + (ax + ab) = x^2(x+b) + a(x+b) = (x^2+a)(x+b) $.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $ \frac{(x+b)(x-a)}{(x^2+a)(x+b)} $.

Сократим общий множитель $(x+b)$: $ \frac{x-a}{x^2+a} $.

Ответ: $ \frac{x-a}{x^2+a} $

6.25. Упростите дробь и найдите значение выражения:

1) $\frac{(a+b)^2 - c^2}{a+b+c}$ при $a=-3, b=5, c=3,4;$

2) $\frac{x^3 + x^2 y}{x^2 + 2xy + y^2}$ при $x=3, y=-2.$

1) Сначала упростим данное выражение. Числитель дроби $ (a+b)^2 - c^2 $ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где в нашем случае $x=a+b$ и $y=c$.

Получаем: $ (a+b)^2 - c^2 = (a+b-c)(a+b+c) $.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$ \frac{(a+b)^2 - c^2}{a+b+c} = \frac{(a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c} $

При условии, что $ a+b+c \neq 0 $, мы можем сократить дробь на общий множитель $ (a+b+c) $. В результате получаем:

$ a+b-c $

Теперь найдем значение этого выражения при заданных значениях $a=-3$, $b=5$, $c=3,4$.

Сначала проверим, выполняется ли условие $ a+b+c \neq 0 $:

$ -3 + 5 + 3,4 = 2 + 3,4 = 5,4 $.

Так как $ 5,4 \neq 0 $, упрощение было корректным. Подставим значения переменных в упрощенное выражение:

$ a+b-c = -3 + 5 - 3,4 = 2 - 3,4 = -1,4 $.

Ответ: -1,4

2) Сначала упростим выражение $ \frac{x^3 + x^2y}{x^2 + 2xy + y^2} $.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

В числителе $ x^3 + x^2y $ вынесем общий множитель $ x^2 $ за скобки:

$ x^3 + x^2y = x^2(x+y) $.

Знаменатель $ x^2 + 2xy + y^2 $ является полным квадратом суммы. Согласно формуле $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $, получаем:

$ x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{x^2(x+y)}{(x+y)^2} $

При условии, что $ x+y \neq 0 $, мы можем сократить дробь на общий множитель $ (x+y) $. В результате получаем:

$ \frac{x^2}{x+y} $

Теперь найдем значение этого выражения при заданных значениях $x=3$ и $y=-2$.

Проверим условие $ x+y \neq 0 $:

$ 3 + (-2) = 1 $.

Так как $ 1 \neq 0 $, упрощение было корректным. Подставим значения переменных в упрощенное выражение:

$ \frac{x^2}{x+y} = \frac{3^2}{3 + (-2)} = \frac{9}{1} = 9 $.

Ответ: 9

6.26. Докажите тождество:

1) $\frac{ac + bx + ax + bc}{ay + 2bx + 2ax + by} = \frac{x + c}{2x + y}$;

2) $\frac{x - xy + z - zy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3} = \frac{x + z}{(1 - y)^2}$;

3) $\frac{3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3}{9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5} = \frac{1}{3a^2 - b^2}$.

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель дроби методом группировки.

Разложим на множители числитель $ac + bx + ax + bc$:

$ac + bx + ax + bc = (ac + ax) + (bc + bx) = a(c+x) + b(c+x) = (a+b)(x+c)$

Разложим на множители знаменатель $ay + 2bx + 2ax + by$:

$ay + 2bx + 2ax + by = (2ax + 2bx) + (ay + by) = 2x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(2x+y)$

Подставим полученные выражения обратно в левую часть тождества:

$\frac{ac + bx + ax + bc}{ay + 2bx + 2ax + by} = \frac{(a+b)(x+c)}{(a+b)(2x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$, при условии, что он не равен нулю:

$\frac{(a+b)(x+c)}{(a+b)(2x+y)} = \frac{x+c}{2x+y}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x - xy + z - zy$ методом группировки:

$x - xy + z - zy = (x - xy) + (z - zy) = x(1-y) + z(1-y) = (x+z)(1-y)$

Знаменатель $1 - 3y + 3y^2 - y^3$ представляет собой формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном случае $a=1$ и $b=y$, поэтому:

$1 - 3y + 3y^2 - y^3 = (1-y)^3$

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$\frac{x - xy + z - zy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3} = \frac{(x+z)(1-y)}{(1-y)^3}$

Сократим дробь на общий множитель $(1-y)$, при условии, что он не равен нулю:

$\frac{(x+z)(1-y)}{(1-y)^3} = \frac{x+z}{(1-y)^2}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества, разложив на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3$ методом группировки, предварительно переставив слагаемые:

$3a^3 - 6a^2b + ab^2 - 2b^3 = (3a^3 - 6a^2b) + (ab^2 - 2b^3) = 3a^2(a - 2b) + b^2(a - 2b) = (3a^2 + b^2)(a - 2b)$

Разложим на множители знаменатель $9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5$:

$9a^5 - 18a^4b - ab^4 + 2b^5 = (9a^5 - 18a^4b) - (ab^4 - 2b^5) = 9a^4(a - 2b) - b^4(a - 2b) = (9a^4 - b^4)(a - 2b)$

Выражение $(9a^4 - b^4)$ является разностью квадратов: $(3a^2)^2 - (b^2)^2$. Разложим его по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$9a^4 - b^4 = (3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)$

Таким образом, знаменатель равен $(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в левую часть тождества:

$\frac{(3a^2 + b^2)(a - 2b)}{(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)}$

Сократим дробь на общие множители $(3a^2 + b^2)$ и $(a - 2b)$, при условии, что они не равны нулю:

$\frac{1}{3a^2 - b^2}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.