Страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие выражения называются дробными?

2. Что такое допустимые значения переменных?

3. Что называют тождеством и тождественным преобразованием?

4. Докажите основное свойство рациональных дробей.

5. Как изменяется знак дроби, если изменить знак числителя (знаменателя)?

1. Какие выражения называются дробными?

Рациональные выражения делятся на два типа: целые и дробные.

Целые выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Целые выражения не содержат деления на переменную. Примерами целых выражений являются многочлены: $5x^2 + 3y - z$, $12a^4$, $7$.

Дробными выражениями называют такие рациональные выражения, которые содержат операцию деления на выражение с переменными. Иначе говоря, это выражения, в которых переменная присутствует в знаменателе дроби.

Например, выражения $\frac{a+b}{c}$, $x + \frac{1}{x}$, $\frac{8}{y^2-1}$ являются дробными. Выражение $\frac{x}{5}$ является целым, так как деление происходит на число, а не на переменную.

Ответ: Дробными выражениями называют выражения, которые содержат деление на переменную или на выражение с переменными.

2. Что такое допустимые значения переменных?

Допустимые значения переменных в алгебраическом выражении — это все значения переменных, при которых данное выражение имеет смысл. Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех таких значений.

Для целых выражений допустимыми являются любые значения переменных, так как операции сложения, вычитания и умножения всегда выполнимы.

Для дробных выражений существуют ограничения. Основное ограничение связано с операцией деления: делить на ноль нельзя. Поэтому для дробного выражения вида $\frac{A}{B}$ допустимыми будут все значения переменных, при которых знаменатель $B$ не обращается в ноль.

Например, для дроби $\frac{x+5}{x-3}$ знаменатель $x-3$ не должен быть равен нулю. То есть $x-3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Таким образом, допустимыми значениями переменной $x$ являются все числа, кроме 3.

Ответ: Допустимые значения переменных — это множество всех значений переменных, при подстановке которых в выражение оно не теряет своего математического смысла (в частности, для дробных выражений — это значения, при которых знаменатель не равен нулю).

3. Что называют тождеством и тождественным преобразованием?

Тождество — это равенство, которое верно при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Примеры тождеств:

• $a+b=b+a$ (переместительный закон сложения)
• $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ (формула разности квадратов)

Эти равенства выполняются для любых чисел $a, b, x, y$.

Тождественное преобразование — это замена одного выражения другим, тождественно равным ему. То есть новым выражением, которое имеет те же значения, что и исходное, при всех допустимых значениях переменных.

К тождественным преобразованиям относятся: приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, разложение на множители, сокращение дробей и другие операции, основанные на свойствах чисел и действий с ними.

Например, замена выражения $(a+3)^2$ на $a^2+6a+9$ является тождественным преобразованием.

Ответ: Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Тождественное преобразование — это замена выражения другим, тождественно равным ему.

4. Докажите основное свойство рациональных дробей.

Основное свойство рациональной дроби формулируется так: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

Формульно: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$, где $A$, $B$, $C$ — многочлены, причем $B \neq 0$ и $C \neq 0$.

Доказательство:

Рациональная дробь является частным от деления двух многочленов. Пусть у нас есть дробь $\frac{A}{B}$. Чтобы доказать, что $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$, нам нужно показать, что их разность равна нулю при всех допустимых значениях переменных.

Рассмотрим разность:
$\frac{A}{B} - \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$

Приведем дроби к общему знаменателю, которым является $B \cdot C$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $C$:
$\frac{A \cdot C}{B \cdot C} - \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{A \cdot C - A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{0}{B \cdot C}$

Поскольку по условию $B \neq 0$ и $C \neq 0$, то и их произведение $B \cdot C \neq 0$. Деление нуля на любое ненулевое выражение дает в результате ноль.
$\frac{0}{B \cdot C} = 0$

Так как разность дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ равна нулю, это означает, что сами дроби равны.

Деление на многочлен $C$ является операцией, обратной умножению, и доказывается аналогично, представляя деление как умножение на $\frac{1}{C}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство доказано путем приведения разности дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ к нулю, что подтверждает их тождественное равенство при условиях $B \neq 0$ и $C \neq 0$.

5. Как изменяется знак дроби, если изменить знак числителя (знаменателя)?

Рассмотрим дробь $\frac{A}{B}$.

1. Если изменить знак только числителя.
Получим дробь $\frac{-A}{B}$. Это выражение можно представить как $(-1) \cdot \frac{A}{B}$, или просто $-\frac{A}{B}$.
Например, $\frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$.
Следовательно, при изменении знака числителя знак всей дроби меняется на противоположный.

2. Если изменить знак только знаменателя.
Получим дробь $\frac{A}{-B}$. Используя основное свойство дроби, умножим числитель и знаменатель на -1: $\frac{A \cdot (-1)}{-B \cdot (-1)} = \frac{-A}{B}$. Как мы уже установили в пункте 1, это равно $-\frac{A}{B}$.
Например, $\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$.
Следовательно, при изменении знака знаменателя знак всей дроби также меняется на противоположный.

3. Если изменить знак и у числителя, и у знаменателя.
Получим дробь $\frac{-A}{-B}$. Используя основное свойство дроби, мы можем разделить (сократить) числитель и знаменатель на -1.
$\frac{-A}{-B} = \frac{(-1) \cdot A}{(-1) \cdot B} = \frac{A}{B}$.
Например, $\frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, при одновременном изменении знаков числителя и знаменателя знак дроби не изменяется.

Таким образом, верны следующие тождества: $\frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B}$ и $\frac{-A}{-B} = \frac{A}{B}$.

Ответ: Если изменить знак только числителя или только знаменателя, то знак всей дроби изменится на противоположный. Если изменить знак и числителя, и знаменателя одновременно, знак дроби не изменится.

6.1. Запишите выражение в виде дроби:

1) $a:7$;

2) $5:a$;

3) $x:y$;

4) $(a+b):5$;

5) $8:(p-q)$;

6) $(x+y):(m+n)$;

7) $x^2:(a+b)$;

8) $3a:(2m-5n)$;

9) $(4x-3y):(x+y)$.

1) Чтобы записать выражение $a:7$ в виде дроби, нужно делимое $a$ поместить в числитель, а делитель $7$ — в знаменатель. Знак деления (:) заменяется чертой дроби.

Решение: $a:7 = \frac{a}{7}$.

Ответ: $\frac{a}{7}$

2) Для выражения $5:a$ делимое равно $5$, а делитель — $a$. Записываем $5$ в числитель и $a$ в знаменатель.

Решение: $5:a = \frac{5}{a}$.

Ответ: $\frac{5}{a}$

3) В выражении $x:y$ делимое — это $x$, а делитель — $y$. Представляем это деление в виде дроби.

Решение: $x:y = \frac{x}{y}$.

Ответ: $\frac{x}{y}$

4) В выражении $(a+b):5$ делимым является вся сумма $(a+b)$, а делителем — число $5$. Сумма $(a+b)$ будет числителем, а $5$ — знаменателем.

Решение: $(a+b):5 = \frac{a+b}{5}$.

Ответ: $\frac{a+b}{5}$

5) Для выражения $8:(p-q)$ делимое равно $8$, а делитель — разность $(p-q)$. Записываем $8$ в числитель и $(p-q)$ в знаменатель.

Решение: $8:(p-q) = \frac{8}{p-q}$.

Ответ: $\frac{8}{p-q}$

6) В выражении $(x+y):(m+n)$ делимым является сумма $(x+y)$, а делителем — сумма $(m+n)$. Записываем делимое в числитель, а делитель в знаменатель.

Решение: $(x+y):(m+n) = \frac{x+y}{m+n}$.

Ответ: $\frac{x+y}{m+n}$

7) В выражении $x^2:(a+b)$ делимое — это $x^2$, а делитель — сумма $(a+b)$. Представим это выражение в виде дроби.

Решение: $x^2:(a+b) = \frac{x^2}{a+b}$.

Ответ: $\frac{x^2}{a+b}$

8) Для выражения $3a:(2m-5n)$ делимым является $3a$, а делителем — разность $(2m-5n)$. Записываем делимое в числитель, а делитель в знаменатель.

Решение: $3a:(2m-5n) = \frac{3a}{2m-5n}$.

Ответ: $\frac{3a}{2m-5n}$

9) В выражении $(4x-3y):(x+y)$ делимое — это $(4x-3y)$, а делитель — $(x+y)$. Запишем данное выражение в виде дроби, где делимое — числитель, а делитель — знаменатель.

Решение: $(4x-3y):(x+y) = \frac{4x-3y}{x+y}$.

Ответ: $\frac{4x-3y}{x+y}$

6.2. При каких значениях а обращается в нуль дробь:

1) $\frac{a-3}{4}$;

2) $\frac{a+3}{a-3}$;

3) $\frac{a-3}{a}$;

4) $\frac{a+0,1}{3a-1}$;

5) $\frac{3a-2}{2a}$;

6) $\frac{a(a-4)}{a+15}$;

7) $\frac{(a+3)(a-3)}{2a-5}$;

8) $\frac{(a+1)(a+5)}{a-3}$?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Рассмотрим каждый случай.

1)

Дробь $\frac{a-3}{4}$.
Приравниваем числитель к нулю: $a - 3 = 0$, откуда получаем $a = 3$.
Знаменатель дроби равен $4$, он не равен нулю и не зависит от $a$.
Следовательно, при $a=3$ дробь обращается в нуль.

Ответ: $a=3$.

2)

Дробь $\frac{a+3}{a-3}$.
Приравниваем числитель к нулю: $a + 3 = 0$, откуда получаем $a = -3$.
Необходимо проверить, чтобы знаменатель $a-3$ не был равен нулю при этом значении $a$.
Подставляем $a = -3$ в знаменатель: $-3 - 3 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, условие выполняется.
Следовательно, при $a=-3$ дробь обращается в нуль.

Ответ: $a=-3$.

3)

Дробь $\frac{a-3}{a}$.
Приравниваем числитель к нулю: $a - 3 = 0$, откуда $a = 3$.
Проверяем знаменатель $a$ при $a=3$. Он равен $3$, что не равно нулю. Условие выполняется.
Следовательно, дробь обращается в нуль при $a=3$.

Ответ: $a=3$.

4)

Дробь $\frac{a+0,1}{3a-1}$.
Приравниваем числитель к нулю: $a+0,1 = 0$, откуда $a=-0,1$.
Проверяем знаменатель $3a-1$ при $a=-0,1$: $3(-0,1)-1 = -0,3 - 1 = -1,3$.
Так как $-1,3 \neq 0$, то значение $a=-0,1$ является решением.

Ответ: $a=-0,1$.

5)

Дробь $\frac{3a-2}{2a}$.
Приравниваем числитель к нулю: $3a-2=0 \implies 3a=2 \implies a=\frac{2}{3}$.
Проверяем знаменатель $2a$ при $a=\frac{2}{3}$: $2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Так как $\frac{4}{3} \neq 0$, то значение $a=\frac{2}{3}$ является решением.

Ответ: $a=\frac{2}{3}$.

6)

Дробь $\frac{a(a-4)}{a+15}$.
Приравниваем числитель к нулю: $a(a-4)=0$.
Это уравнение имеет два корня: $a_1=0$ и $a_2=4$.
Проверяем знаменатель $a+15$ для каждого корня, он не должен быть равен нулю.
При $a=0$: знаменатель $0+15=15 \neq 0$. Значит, $a=0$ — корень.
При $a=4$: знаменатель $4+15=19 \neq 0$. Значит, $a=4$ — тоже корень.
Дробь обращается в нуль при двух значениях $a$.

Ответ: $a=0, a=4$.

7)

Дробь $\frac{(a+3)(a-3)}{2a-5}$.
Приравниваем числитель к нулю: $(a+3)(a-3)=0$.
Это уравнение имеет два корня: $a_1=-3$ и $a_2=3$.
Проверяем знаменатель $2a-5$ для каждого корня.
При $a=-3$: знаменатель $2(-3)-5 = -6-5 = -11 \neq 0$. Значит, $a=-3$ — корень.
При $a=3$: знаменатель $2(3)-5 = 6-5 = 1 \neq 0$. Значит, $a=3$ — тоже корень.

Ответ: $a=-3, a=3$.

8)

Дробь $\frac{(a+1)(a+5)}{a-3}$.
Приравниваем числитель к нулю: $(a+1)(a+5)=0$.
Это уравнение имеет два корня: $a_1=-1$ и $a_2=-5$.
Проверяем знаменатель $a-3$ для каждого корня.
При $a=-1$: знаменатель $-1-3 = -4 \neq 0$. Значит, $a=-1$ — корень.
При $a=-5$: знаменатель $-5-3 = -8 \neq 0$. Значит, $a=-5$ — тоже корень.

Ответ: $a=-1, a=-5$.

6.3. При каких значениях x следующие дроби не имеют смысла:

1) $ \frac{3}{x - 2} $;

2) $ \frac{4}{x + 1} $;

3) $ \frac{2x}{x - 3} $;

4) $ \frac{x + 1}{2x - 4} $;

5) $ \frac{x + 1}{x - 1} $;

6) $ \frac{4 - x}{3 - x} $;

7) $ \frac{1}{x - a} $;

8) $ \frac{1}{x + b} $;

9) $ \frac{1}{x^2 - 1} $;

10)

$ \frac{1}{(x + 1)(x - 2)} $ ?

Дробное выражение (дробь) не имеет смысла в том случае, когда его знаменатель обращается в нуль, так как на нуль делить нельзя. Поэтому для каждой дроби нужно найти значения переменной $x$, при которых знаменатель становится равным нулю.

1) В дроби $\frac{3}{x-2}$ знаменатель равен $x-2$. Приравняем его к нулю: $x-2=0$. Отсюда $x=2$.
Ответ: при $x=2$.

2) В дроби $\frac{4}{x+1}$ знаменатель равен $x+1$. Приравняем его к нулю: $x+1=0$. Отсюда $x=-1$.
Ответ: при $x=-1$.

3) В дроби $\frac{2x}{x-3}$ знаменатель равен $x-3$. Приравняем его к нулю: $x-3=0$. Отсюда $x=3$.
Ответ: при $x=3$.

4) В дроби $\frac{x+1}{2x-4}$ знаменатель равен $2x-4$. Приравняем его к нулю: $2x-4=0$. Перенесем 4 в правую часть: $2x=4$. Разделим обе части на 2: $x=2$.
Ответ: при $x=2$.

5) В дроби $\frac{x+1}{x-1}$ знаменатель равен $x-1$. Приравняем его к нулю: $x-1=0$. Отсюда $x=1$.
Ответ: при $x=1$.

6) В дроби $\frac{4-x}{3-x}$ знаменатель равен $3-x$. Приравняем его к нулю: $3-x=0$. Отсюда $x=3$.
Ответ: при $x=3$.

7) В дроби $\frac{1}{x-a}$ знаменатель равен $x-a$. Приравняем его к нулю: $x-a=0$. Отсюда $x=a$.
Ответ: при $x=a$.

8) В дроби $\frac{1}{x+b}$ знаменатель равен $x+b$. Приравняем его к нулю: $x+b=0$. Отсюда $x=-b$.
Ответ: при $x=-b$.

9) В дроби $\frac{1}{x^2-1}$ знаменатель равен $x^2-1$. Приравняем его к нулю: $x^2-1=0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1)=0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, $x-1=0$ или $x+1=0$. Отсюда $x=1$ или $x=-1$.
Ответ: при $x=1$ и $x=-1$.

10) В дроби $\frac{1}{(x+1)(x-2)}$ знаменатель равен $(x+1)(x-2)$. Приравняем его к нулю: $(x+1)(x-2)=0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, $x+1=0$ или $x-2=0$. Отсюда $x=-1$ или $x=2$.
Ответ: при $x=-1$ и $x=2$.

6.4. Изменится ли значение дроби, если каждое из значений $x$ и $y$ удвоить:

1) $\frac{x-y}{x+y}$;

2) $\frac{x^2}{y}$;

3) $\frac{3x^2}{y}$;

4) $\frac{4x^2-y^2}{x^2+y^2}$ ?