Номер 6.2, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.2. При каких значениях а обращается в нуль дробь:

1) $\frac{a-3}{4}$;

2) $\frac{a+3}{a-3}$;

3) $\frac{a-3}{a}$;

4) $\frac{a+0,1}{3a-1}$;

5) $\frac{3a-2}{2a}$;

6) $\frac{a(a-4)}{a+15}$;

7) $\frac{(a+3)(a-3)}{2a-5}$;

8) $\frac{(a+1)(a+5)}{a-3}$?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Рассмотрим каждый случай.

1)

Дробь $\frac{a-3}{4}$.
Приравниваем числитель к нулю: $a - 3 = 0$, откуда получаем $a = 3$.
Знаменатель дроби равен $4$, он не равен нулю и не зависит от $a$.
Следовательно, при $a=3$ дробь обращается в нуль.

Ответ: $a=3$.

2)

Дробь $\frac{a+3}{a-3}$.
Приравниваем числитель к нулю: $a + 3 = 0$, откуда получаем $a = -3$.
Необходимо проверить, чтобы знаменатель $a-3$ не был равен нулю при этом значении $a$.
Подставляем $a = -3$ в знаменатель: $-3 - 3 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, условие выполняется.
Следовательно, при $a=-3$ дробь обращается в нуль.

Ответ: $a=-3$.

3)

Дробь $\frac{a-3}{a}$.
Приравниваем числитель к нулю: $a - 3 = 0$, откуда $a = 3$.
Проверяем знаменатель $a$ при $a=3$. Он равен $3$, что не равно нулю. Условие выполняется.
Следовательно, дробь обращается в нуль при $a=3$.

Ответ: $a=3$.

4)

Дробь $\frac{a+0,1}{3a-1}$.
Приравниваем числитель к нулю: $a+0,1 = 0$, откуда $a=-0,1$.
Проверяем знаменатель $3a-1$ при $a=-0,1$: $3(-0,1)-1 = -0,3 - 1 = -1,3$.
Так как $-1,3 \neq 0$, то значение $a=-0,1$ является решением.

Ответ: $a=-0,1$.

5)

Дробь $\frac{3a-2}{2a}$.
Приравниваем числитель к нулю: $3a-2=0 \implies 3a=2 \implies a=\frac{2}{3}$.
Проверяем знаменатель $2a$ при $a=\frac{2}{3}$: $2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Так как $\frac{4}{3} \neq 0$, то значение $a=\frac{2}{3}$ является решением.

Ответ: $a=\frac{2}{3}$.

6)

Дробь $\frac{a(a-4)}{a+15}$.
Приравниваем числитель к нулю: $a(a-4)=0$.
Это уравнение имеет два корня: $a_1=0$ и $a_2=4$.
Проверяем знаменатель $a+15$ для каждого корня, он не должен быть равен нулю.
При $a=0$: знаменатель $0+15=15 \neq 0$. Значит, $a=0$ — корень.
При $a=4$: знаменатель $4+15=19 \neq 0$. Значит, $a=4$ — тоже корень.
Дробь обращается в нуль при двух значениях $a$.

Ответ: $a=0, a=4$.

7)

Дробь $\frac{(a+3)(a-3)}{2a-5}$.
Приравниваем числитель к нулю: $(a+3)(a-3)=0$.
Это уравнение имеет два корня: $a_1=-3$ и $a_2=3$.
Проверяем знаменатель $2a-5$ для каждого корня.
При $a=-3$: знаменатель $2(-3)-5 = -6-5 = -11 \neq 0$. Значит, $a=-3$ — корень.
При $a=3$: знаменатель $2(3)-5 = 6-5 = 1 \neq 0$. Значит, $a=3$ — тоже корень.

Ответ: $a=-3, a=3$.

8)

Дробь $\frac{(a+1)(a+5)}{a-3}$.
Приравниваем числитель к нулю: $(a+1)(a+5)=0$.
Это уравнение имеет два корня: $a_1=-1$ и $a_2=-5$.
Проверяем знаменатель $a-3$ для каждого корня.
При $a=-1$: знаменатель $-1-3 = -4 \neq 0$. Значит, $a=-1$ — корень.
При $a=-5$: знаменатель $-5-3 = -8 \neq 0$. Значит, $a=-5$ — тоже корень.

Ответ: $a=-1, a=-5$.