Номер 5.185, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.185. Запишите члены последовательности в виде степени с основанием 3, найдите первый и последний члены этой последовательности:

$...; 9; 3; 1; \frac{1}{3}; \frac{1}{9}; ...$

Запишите члены последовательности в виде степени с основанием 3

Данная последовательность является геометрической прогрессией. Каждый следующий член получается из предыдущего умножением на знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$. Чтобы представить члены последовательности в виде степени с основанием 3, воспользуемся свойствами степеней.

Представим каждый из указанных членов:
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$3 = 3^1$
$1 = 3^0$, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$

Таким образом, последовательность можно записать в виде: $...; 3^3; 3^2; 3^1; 3^0; 3^{-1}; 3^{-2}; ...$

Ответ: Члены последовательности в виде степени с основанием 3: $...; 3^2; 3^1; 3^0; 3^{-1}; 3^{-2}; ...$.

Найдите первый и последний члены этой последовательности

Многоточия (...) в начале и в конце записи последовательности указывают на то, что она является бесконечной в обе стороны (такие последовательности называют двусторонне бесконечными).

Влево от числа 9 последовательность продолжается членами с большими степенями: $3^3=27$, $3^4=81$ и так далее. Члены последовательности неограниченно возрастают.

Вправо от числа $\frac{1}{9}$ последовательность продолжается членами с меньшими (более отрицательными) степенями: $3^{-3}=\frac{1}{27}$, $3^{-4}=\frac{1}{81}$ и так далее. Члены последовательности неограниченно убывают, стремясь к нулю.

Поскольку последовательность бесконечна в обе стороны, у нее нет ни начального (первого), ни конечного (последнего) члена.

Ответ: У данной последовательности нет первого и последнего членов, так как она является бесконечной в обе стороны.