Вопросы, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие выражения называются дробными?

2. Что такое допустимые значения переменных?

3. Что называют тождеством и тождественным преобразованием?

4. Докажите основное свойство рациональных дробей.

5. Как изменяется знак дроби, если изменить знак числителя (знаменателя)?

1. Какие выражения называются дробными?

Рациональные выражения делятся на два типа: целые и дробные.

Целые выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Целые выражения не содержат деления на переменную. Примерами целых выражений являются многочлены: $5x^2 + 3y - z$, $12a^4$, $7$.

Дробными выражениями называют такие рациональные выражения, которые содержат операцию деления на выражение с переменными. Иначе говоря, это выражения, в которых переменная присутствует в знаменателе дроби.

Например, выражения $\frac{a+b}{c}$, $x + \frac{1}{x}$, $\frac{8}{y^2-1}$ являются дробными. Выражение $\frac{x}{5}$ является целым, так как деление происходит на число, а не на переменную.

Ответ: Дробными выражениями называют выражения, которые содержат деление на переменную или на выражение с переменными.

2. Что такое допустимые значения переменных?

Допустимые значения переменных в алгебраическом выражении — это все значения переменных, при которых данное выражение имеет смысл. Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех таких значений.

Для целых выражений допустимыми являются любые значения переменных, так как операции сложения, вычитания и умножения всегда выполнимы.

Для дробных выражений существуют ограничения. Основное ограничение связано с операцией деления: делить на ноль нельзя. Поэтому для дробного выражения вида $\frac{A}{B}$ допустимыми будут все значения переменных, при которых знаменатель $B$ не обращается в ноль.

Например, для дроби $\frac{x+5}{x-3}$ знаменатель $x-3$ не должен быть равен нулю. То есть $x-3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Таким образом, допустимыми значениями переменной $x$ являются все числа, кроме 3.

Ответ: Допустимые значения переменных — это множество всех значений переменных, при подстановке которых в выражение оно не теряет своего математического смысла (в частности, для дробных выражений — это значения, при которых знаменатель не равен нулю).

3. Что называют тождеством и тождественным преобразованием?

Тождество — это равенство, которое верно при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Примеры тождеств:

• $a+b=b+a$ (переместительный закон сложения)
• $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ (формула разности квадратов)

Эти равенства выполняются для любых чисел $a, b, x, y$.

Тождественное преобразование — это замена одного выражения другим, тождественно равным ему. То есть новым выражением, которое имеет те же значения, что и исходное, при всех допустимых значениях переменных.

К тождественным преобразованиям относятся: приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, разложение на множители, сокращение дробей и другие операции, основанные на свойствах чисел и действий с ними.

Например, замена выражения $(a+3)^2$ на $a^2+6a+9$ является тождественным преобразованием.

Ответ: Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Тождественное преобразование — это замена выражения другим, тождественно равным ему.

4. Докажите основное свойство рациональных дробей.

Основное свойство рациональной дроби формулируется так: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

Формульно: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$, где $A$, $B$, $C$ — многочлены, причем $B \neq 0$ и $C \neq 0$.

Доказательство:

Рациональная дробь является частным от деления двух многочленов. Пусть у нас есть дробь $\frac{A}{B}$. Чтобы доказать, что $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$, нам нужно показать, что их разность равна нулю при всех допустимых значениях переменных.

Рассмотрим разность:
$\frac{A}{B} - \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$

Приведем дроби к общему знаменателю, которым является $B \cdot C$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $C$:
$\frac{A \cdot C}{B \cdot C} - \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{A \cdot C - A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{0}{B \cdot C}$

Поскольку по условию $B \neq 0$ и $C \neq 0$, то и их произведение $B \cdot C \neq 0$. Деление нуля на любое ненулевое выражение дает в результате ноль.
$\frac{0}{B \cdot C} = 0$

Так как разность дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ равна нулю, это означает, что сами дроби равны.

Деление на многочлен $C$ является операцией, обратной умножению, и доказывается аналогично, представляя деление как умножение на $\frac{1}{C}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство доказано путем приведения разности дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ к нулю, что подтверждает их тождественное равенство при условиях $B \neq 0$ и $C \neq 0$.

5. Как изменяется знак дроби, если изменить знак числителя (знаменателя)?

Рассмотрим дробь $\frac{A}{B}$.

1. Если изменить знак только числителя.
Получим дробь $\frac{-A}{B}$. Это выражение можно представить как $(-1) \cdot \frac{A}{B}$, или просто $-\frac{A}{B}$.
Например, $\frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$.
Следовательно, при изменении знака числителя знак всей дроби меняется на противоположный.

2. Если изменить знак только знаменателя.
Получим дробь $\frac{A}{-B}$. Используя основное свойство дроби, умножим числитель и знаменатель на -1: $\frac{A \cdot (-1)}{-B \cdot (-1)} = \frac{-A}{B}$. Как мы уже установили в пункте 1, это равно $-\frac{A}{B}$.
Например, $\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$.
Следовательно, при изменении знака знаменателя знак всей дроби также меняется на противоположный.

3. Если изменить знак и у числителя, и у знаменателя.
Получим дробь $\frac{-A}{-B}$. Используя основное свойство дроби, мы можем разделить (сократить) числитель и знаменатель на -1.
$\frac{-A}{-B} = \frac{(-1) \cdot A}{(-1) \cdot B} = \frac{A}{B}$.
Например, $\frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, при одновременном изменении знаков числителя и знаменателя знак дроби не изменяется.

Таким образом, верны следующие тождества: $\frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B}$ и $\frac{-A}{-B} = \frac{A}{B}$.

Ответ: Если изменить знак только числителя или только знаменателя, то знак всей дроби изменится на противоположный. Если изменить знак и числителя, и знаменателя одновременно, знак дроби не изменится.