Номер 6.9, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.9. Сократите дробь:

1) $\frac{3a(a+b)^2}{9a^2(a+b)};$

2) $\frac{10a^2b(x-y)^2}{15a^4b(x-y)^3};$

3) $\frac{7a^3b^3(a+b)}{21a^2b^3(a+b)^3};$

4) $\frac{3(a-b)(a-c)^2}{6(a-b)(a-c)};$

5) $\frac{x(y-z)^2}{x(y-z)};$

6) $\frac{8m(a+b)}{4m(a+b)}.$

1) Для сокращения дроби $\frac{3a(a+b)^2}{9a^2(a+b)}$ разделим числитель и знаменатель на их общие множители. Сгруппируем множители для удобства: числовые коэффициенты, переменные и выражения в скобках.
1. Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
2. Сокращаем степени переменной $a$: $\frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
3. Сокращаем степени выражения $(a+b)$: $\frac{(a+b)^2}{a+b} = (a+b)^{2-1} = a+b$.
Перемножая полученные результаты, получаем итоговую дробь: $\frac{1 \cdot (a+b)}{3 \cdot a} = \frac{a+b}{3a}$.
Ответ: $\frac{a+b}{3a}$

2) Сократим дробь $\frac{10a^2b(x-y)^2}{15a^4b(x-y)^3}$. Для этого последовательно сократим общие множители в числителе и знаменателе.
1. Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{10}{15} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{2}{3}$.
2. Сокращаем степени переменной $a$: $\frac{a^2}{a^4} = a^{2-4} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$.
3. Сокращаем переменную $b$: $\frac{b}{b} = 1$.
4. Сокращаем степени выражения $(x-y)$: $\frac{(x-y)^2}{(x-y)^3} = (x-y)^{2-3} = (x-y)^{-1} = \frac{1}{x-y}$.
Объединяем результаты: $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a^2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{x-y} = \frac{2}{3a^2(x-y)}$.
Ответ: $\frac{2}{3a^2(x-y)}$

3) Сократим дробь $\frac{7a^3b^3(a+b)}{21a^2b^3(a+b)^3}$.
1. Сокращаем коэффициенты: $\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$.
2. Сокращаем степени переменной $a$: $\frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a$.
3. Сокращаем степени переменной $b$: $\frac{b^3}{b^3} = 1$.
4. Сокращаем степени выражения $(a+b)$: $\frac{a+b}{(a+b)^3} = (a+b)^{1-3} = (a+b)^{-2} = \frac{1}{(a+b)^2}$.
Собираем все части: $\frac{1 \cdot a \cdot 1}{3 \cdot (a+b)^2} = \frac{a}{3(a+b)^2}$.
Ответ: $\frac{a}{3(a+b)^2}$

4) Сократим дробь $\frac{3(a-b)(a-c)^2}{6(a-b)(a-c)}$.
1. Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
2. Сокращаем общий множитель $(a-b)$: $\frac{a-b}{a-b} = 1$.
3. Сокращаем степени выражения $(a-c)$: $\frac{(a-c)^2}{a-c} = (a-c)^{2-1} = a-c$.
Объединяем результаты: $\frac{1 \cdot (a-c)}{2} = \frac{a-c}{2}$.
Ответ: $\frac{a-c}{2}$

5) Сократим дробь $\frac{x(y-z)^2}{x(y-z)}$.
В числителе и знаменателе есть общие множители $x$ и $(y-z)$.
1. Сокращаем $x$: $\frac{x}{x} = 1$.
2. Сокращаем степени выражения $(y-z)$: $\frac{(y-z)^2}{y-z} = (y-z)^{2-1} = y-z$.
Результат сокращения: $1 \cdot (y-z) = y-z$.
Ответ: $y-z$

6) Сократим дробь $\frac{8m(a+b)}{4m(a+b)}$.
В данной дроби числитель и знаменатель имеют несколько общих множителей.
1. Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{8}{4} = 2$.
2. Сокращаем переменную $m$: $\frac{m}{m} = 1$.
3. Сокращаем выражение $(a+b)$: $\frac{a+b}{a+b} = 1$.
Перемножаем результаты сокращения: $2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$.
Ответ: $2$