Номер 6.12, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.12–6.19 сократите дроби.

6.12. 1) $\frac{x+x^2}{x^2-1}$; 2) $\frac{a-a^2}{a^2-1}$; 3) $\frac{(a-b)^2}{b^2-a^2}$; 4) $\frac{m^2-n^2}{(n+m)^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x+x^2}{x^2-1}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x+x^2 = x(1+x)$.
Знаменатель является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2-1 = x^2-1^2 = (x-1)(x+1)$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{x(1+x)}{(x-1)(x+1)}$.
Сократим общий множитель $(x+1)$: $\frac{x\cancel{(1+x)}}{(x-1)\cancel{(x+1)}} = \frac{x}{x-1}$.
Ответ: $\frac{x}{x-1}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a-a^2}{a^2-1}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a-a^2 = a(1-a)$.
Знаменатель является разностью квадратов: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.
Получим дробь: $\frac{a(1-a)}{(a-1)(a+1)}$.
Заметим, что $1-a = -(a-1)$. Перепишем числитель: $\frac{-a(a-1)}{(a-1)(a+1)}$.
Сократим общий множитель $(a-1)$: $\frac{-a\cancel{(a-1)}}{\cancel{(a-1)}(a+1)} = \frac{-a}{a+1} = -\frac{a}{a+1}$.
Ответ: $-\frac{a}{a+1}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{(a-b)^2}{b^2-a^2}$, разложим знаменатель на множители.
Числитель уже представлен в виде множителей: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$.
Знаменатель является разностью квадратов: $b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$.
Получим дробь: $\frac{(a-b)^2}{(b-a)(b+a)}$.
Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Перепишем знаменатель: $\frac{(a-b)^2}{-(a-b)(b+a)}$.
Сократим общий множитель $(a-b)$: $\frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{-\cancel{(a-b)}(b+a)} = \frac{a-b}{-(b+a)} = -\frac{a-b}{a+b}$.
Также ответ можно записать в виде $\frac{b-a}{a+b}$.
Ответ: $-\frac{a-b}{a+b}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{m^2-n^2}{(n+m)^2}$, разложим числитель на множители.
Числитель является разностью квадратов: $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.
В знаменателе учтем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется: $(n+m)^2 = (m+n)^2 = (m+n)(m+n)$.
Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(m-n)(m+n)}{(m+n)(m+n)}$.
Сократим общий множитель $(m+n)$: $\frac{(m-n)\cancel{(m+n)}}{(m+n)^{\cancel{2}}} = \frac{m-n}{m+n}$.
Ответ: $\frac{m-n}{m+n}$.