Номер 6.17, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.17. 1) $ \frac{5a^3b + 5ab^3}{a^4 - b^4} $

2) $ \frac{a^4 - b^4}{ab^2 - a^3} $

3) $ \frac{2a + 4}{a^3 + 8} $

4) $ \frac{a^4 - b^4}{a^3 - b^3} $

1) Чтобы сократить дробь $\frac{5a^3b + 5ab^3}{a^4 - b^4}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $5ab$ за скобки:
$5a^3b + 5ab^3 = 5ab(a^2 + b^2)$.
Знаменатель $a^4 - b^4$ представляет собой разность квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
Множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов, поэтому разложим его дальше: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Таким образом, знаменатель полностью раскладывается на множители как $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(a^2+b^2)$:
$\frac{5ab(a^2 + b^2)}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{5ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{5ab}{a^2-b^2}$.
Ответ: $\frac{5ab}{a^2-b^2}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a^4 - b^4}{ab^2 - a^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Как и в предыдущем примере, числитель $a^4 - b^4$ раскладывается на множители: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
В знаменателе $ab^2 - a^3$ вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$ab^2 - a^3 = a(b^2 - a^2)$.
Выражение $b^2 - a^2$ является разностью квадратов: $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$.
Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Тогда знаменатель можно записать как $a(b-a)(b+a) = -a(a-b)(a+b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общие множители $(a-b)$ и $(a+b)$:
$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{-a(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{-a} = -\frac{a^2+b^2}{a}$.
Ответ: $-\frac{a^2+b^2}{a}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{2a + 4}{a^3 + 8}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $2$ за скобки:
$2a + 4 = 2(a+2)$.
Знаменатель $a^3+8$ представляет собой сумму кубов, так как $8 = 2^3$. Используем формулу суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a+2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a+2)(a^2-2a+4)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a+2)$:
$\frac{2(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{2}{a^2-2a+4}$.
Ответ: $\frac{2}{a^2-2a+4}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{a^4 - b^4}{a^3 - b^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $a^4 - b^4$ раскладываем как разность квадратов:
$a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Знаменатель $a^3 - b^3$ раскладываем как разность кубов по формуле $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a-b)$:
$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{(a+b)(a^2+b^2)}{a^2+ab+b^2}$.
Дальнейшее сокращение невозможно, так как у числителя и знаменателя больше нет общих множителей.
Ответ: $\frac{(a+b)(a^2+b^2)}{a^2+ab+b^2}$