Номер 6.15, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.15. 1) $\frac{x^3 + y^3}{x^2 - y^2}$;

2) $\frac{m^3 - n^3}{m^2 - n^2}$;

3) $\frac{2a^3 - 2b^3}{5a^2 - 5b^2}$;

4) $\frac{3p^2 - 3q^2}{6p^3 + 6q^3}$.

1) Для упрощения дроби $\frac{x^3 + y^3}{x^2 - y^2}$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: суммой кубов для числителя и разностью квадратов для знаменателя.

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эти формулы к нашему выражению:

Числитель: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Знаменатель: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь:

$\frac{x^3 + y^3}{x^2 - y^2} = \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)(x + y)}$

Сократим общий множитель $(x + y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x + y \neq 0$):

$\frac{\sout{(x + y)}(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)\sout{(x + y)}} = \frac{x^2 - xy + y^2}{x - y}$

Ответ: $\frac{x^2 - xy + y^2}{x - y}$

2) Для упрощения дроби $\frac{m^3 - n^3}{m^2 - n^2}$ используем формулы разности кубов для числителя и разности квадратов для знаменателя.

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим формулы к нашему выражению:

Числитель: $m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

Знаменатель: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{m^3 - n^3}{m^2 - n^2} = \frac{(m - n)(m^2 + mn + n^2)}{(m - n)(m + n)}$

Сократим общий множитель $(m - n)$ (при условии, что $m - n \neq 0$):

$\frac{\sout{(m - n)}(m^2 + mn + n^2)}{\sout{(m - n)}(m + n)} = \frac{m^2 + mn + n^2}{m + n}$

Ответ: $\frac{m^2 + mn + n^2}{m + n}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{2a^3 - 2b^3}{5a^2 - 5b^2}$. Сначала вынесем общие числовые множители за скобки в числителе и знаменателе.

Числитель: $2a^3 - 2b^3 = 2(a^3 - b^3)$.

Знаменатель: $5a^2 - 5b^2 = 5(a^2 - b^2)$.

Дробь принимает вид: $\frac{2(a^3 - b^3)}{5(a^2 - b^2)}$.

Теперь разложим выражения в скобках по формулам разности кубов и разности квадратов:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Подставим разложения в нашу дробь:

$\frac{2(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{5(a - b)(a + b)}$

Сократим общий множитель $(a - b)$ (при условии, что $a - b \neq 0$):

$\frac{2\sout{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{5\sout{(a - b)}(a + b)} = \frac{2(a^2 + ab + b^2)}{5(a + b)}$

Ответ: $\frac{2(a^2 + ab + b^2)}{5(a + b)}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{3p^2 - 3q^2}{6p^3 + 6q^3}$. Вынесем общие числовые множители за скобки.

Числитель: $3p^2 - 3q^2 = 3(p^2 - q^2)$.

Знаменатель: $6p^3 + 6q^3 = 6(p^3 + q^3)$.

Дробь принимает вид: $\frac{3(p^2 - q^2)}{6(p^3 + q^3)}$.

Сократим числовые коэффициенты $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$:

$\frac{p^2 - q^2}{2(p^3 + q^3)}$

Теперь разложим на множители числитель по формуле разности квадратов и выражение в скобках в знаменателе по формуле суммы кубов:

$p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$

$p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 - pq + q^2)$

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(p - q)(p + q)}{2(p + q)(p^2 - pq + q^2)}$

Сократим общий множитель $(p + q)$ (при условии, что $p + q \neq 0$):

$\frac{(p - q)\sout{(p + q)}}{2\sout{(p + q)}(p^2 - pq + q^2)} = \frac{p - q}{2(p^2 - pq + q^2)}$

Ответ: $\frac{p - q}{2(p^2 - pq + q^2)}$