Номер 6.14, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.14. 1) $\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2}$;

2) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}$;

3) $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a^2 - 6b^2}$;

4) $\frac{5m^2 + 10mn + 5n^2}{15m^2 - 15n^2}$.

1) Дана дробь: $ \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2} $.
Для упрощения дроби разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Числитель $a^2+2ab+b^2$ является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Знаменатель $a^2-b^2$ является формулой разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставим разложенные выражения в исходную дробь:
$ \frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} $.
Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$, при условии что $a+b \neq 0$.
В результате получаем: $ \frac{a+b}{a-b} $.
Ответ: $ \frac{a+b}{a-b} $.

2) Дана дробь: $ \frac{x^2-2x+1}{x^2-1} $.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2-2x+1$ — это формула квадрата разности: $(x-1)^2 = x^2-2x+1$.
Знаменатель $x^2-1$ — это формула разности квадратов: $x^2-1^2 = (x-1)(x+1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$ \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} $.
Сократим общий множитель $(x-1)$, при условии что $x-1 \neq 0$.
В результате получаем: $ \frac{x-1}{x+1} $.
Ответ: $ \frac{x-1}{x+1} $.

3) Дана дробь: $ \frac{3a^2-6ab+3b^2}{6a^2-6b^2} $.
Сначала вынесем общие числовые множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе выносим 3: $3(a^2-2ab+b^2)$.
В знаменателе выносим 6: $6(a^2-b^2)$.
Теперь дробь имеет вид: $ \frac{3(a^2-2ab+b^2)}{6(a^2-b^2)} $.
Применим формулы сокращенного умножения к выражениям в скобках.
$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставляем в дробь:
$ \frac{3(a-b)^2}{6(a-b)(a+b)} = \frac{3(a-b)(a-b)}{6(a-b)(a+b)} $.
Сокращаем числовые коэффициенты $ \frac{3}{6}=\frac{1}{2} $ и общий множитель $(a-b)$, при условии что $a-b \neq 0$.
В результате получаем: $ \frac{1 \cdot (a-b)}{2 \cdot (a+b)} = \frac{a-b}{2(a+b)} $.
Ответ: $ \frac{a-b}{2(a+b)} $.

4) Дана дробь: $ \frac{5m^2+10mn+5n^2}{15m^2-15n^2} $.
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе выносим 5: $5(m^2+2mn+n^2)$.
В знаменателе выносим 15: $15(m^2-n^2)$.
Дробь принимает вид: $ \frac{5(m^2+2mn+n^2)}{15(m^2-n^2)} $.
Теперь используем формулы сокращенного умножения.
Выражение в числителе: $m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2$.
Выражение в знаменателе: $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.
Подставляем в дробь:
$ \frac{5(m+n)^2}{15(m-n)(m+n)} = \frac{5(m+n)(m+n)}{15(m-n)(m+n)} $.
Сокращаем числовые коэффициенты $ \frac{5}{15}=\frac{1}{3} $ и общий множитель $(m+n)$, при условии что $m+n \neq 0$.
В результате получаем: $ \frac{1 \cdot (m+n)}{3 \cdot (m-n)} = \frac{m+n}{3(m-n)} $.
Ответ: $ \frac{m+n}{3(m-n)} $.