Номер 6.29, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.29. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 - 7a + 12}{a^2 - 6a + 9}$;

2) $\frac{2xy - x^2 - y^2 + a^2}{x^2 + a^2 - y^2 + 2ax}$;

3) $\frac{m^3 - m^2n + mn^2}{m^3 + n^3}$.

1) Чтобы упростить дробь $\frac{a^2 - 7a + 12}{a^2 - 6a + 9}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.
Для числителя $a^2 - 7a + 12$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 7a + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, корни это 3 и 4. Таким образом, числитель можно разложить как $(a-3)(a-4)$.
Знаменатель $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности, который сворачивается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае это $(a-3)^2$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{(a-3)(a-4)}{(a-3)^2}$
Сократим общий множитель $(a-3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a-3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$): $\frac{a-4}{a-3}$
Ответ: $\frac{a-4}{a-3}$

2) Для упрощения выражения $\frac{2xy - x^2 - y^2 + a^2}{x^2 + a^2 - y^2 + 2ax}$ сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе для применения формул сокращенного умножения.
В числителе: $2xy - x^2 - y^2 + a^2 = a^2 - (x^2 - 2xy + y^2)$. Выражение в скобках — это полный квадрат $(x-y)^2$. Получаем разность квадратов $a^2 - (x-y)^2$, которую раскладываем как $(a-(x-y))(a+(x-y))$, что равно $(a-x+y)(a+x-y)$.
В знаменателе: $x^2 + a^2 - y^2 + 2ax$. Сгруппируем слагаемые иначе: $(x^2 + 2ax + a^2) - y^2$. Выражение в скобках — это полный квадрат $(x+a)^2$. Получаем разность квадратов $(x+a)^2 - y^2$, которую раскладываем как $((x+a)-y)((x+a)+y)$, что равно $(x+a-y)(x+a+y)$.
Теперь наша дробь имеет вид: $\frac{(a-x+y)(a+x-y)}{(x+a-y)(x+a+y)}$
Сокращаем на общий множитель $(a+x-y)$: $\frac{a-x+y}{x+a+y}$
Ответ: $\frac{a-x+y}{a+x+y}$

3) Упростим дробь $\frac{m^3 - m^2n + mn^2}{m^3 + n^3}$.
В числителе $m^3 - m^2n + mn^2$ вынесем общий множитель $m$ за скобки: $m(m^2 - mn + n^2)$.
Знаменатель $m^3 + n^3$ — это формула суммы кубов, которая раскладывается как $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Применяя ее, получаем: $(m+n)(m^2 - mn + n^2)$.
Подставим разложенные части в дробь: $\frac{m(m^2 - mn + n^2)}{(m+n)(m^2 - mn + n^2)}$
Сократим общий множитель $(m^2 - mn + n^2)$. Этот множитель не равен нулю ни при каких действительных $m$ и $n$, не равных нулю одновременно.
$\frac{m}{m+n}$
Ответ: $\frac{m}{m+n}$