Номер 6.28, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.28. Сократите дробь:

1) $ \frac{a^2 + 5a + 6}{a^2 + 4a + 4} $;

2) $ \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 6x + 5} $;

3) $ \frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 8m + 7} $.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 5a + 6}{a^2 + 4a + 4}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $a^2 + 5a + 6$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $a^2 + 5a + 6 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $a_1 + a_2 = -5$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 6$.
Подбором находим корни: $a_1 = -2$ и $a_2 = -3$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид: $a^2 + 5a + 6 = (a - a_1)(a - a_2) = (a - (-2))(a - (-3)) = (a + 2)(a + 3)$.

Разложим знаменатель $a^2 + 4a + 4$. Данное выражение является полным квадратом.
Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a+2)^2 = (a+2)(a+2)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{a^2 + 5a + 6}{a^2 + 4a + 4} = \frac{(a + 2)(a + 3)}{(a + 2)(a + 2)} = \frac{a + 3}{a + 2}$.

Ответ: $\frac{a + 3}{a + 2}$

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 6x + 5}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^2 + 3x + 2$. Решим уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.
Разложение: $x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x + 1)(x + 2)$.

Разложим знаменатель $x^2 + 6x + 5$. Решим уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 5$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.
Разложение: $x^2 + 6x + 5 = (x - (-1))(x - (-5)) = (x + 1)(x + 5)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x+1)$:
$\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 6x + 5} = \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 5)} = \frac{x + 2}{x + 5}$.

Ответ: $\frac{x + 2}{x + 5}$

3)

Чтобы сократить дробь $\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 8m + 7}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $m^2 + 2m + 1$. Это выражение является полным квадратом.
Используем формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2 = (m+1)(m+1)$.

Разложим знаменатель $m^2 + 8m + 7$. Решим уравнение $m^2 + 8m + 7 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней $m_1 + m_2 = -8$, а их произведение $m_1 \cdot m_2 = 7$.
Корни уравнения: $m_1 = -1$ и $m_2 = -7$.
Разложение: $m^2 + 8m + 7 = (m - (-1))(m - (-7)) = (m + 1)(m + 7)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(m+1)$:
$\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 8m + 7} = \frac{(m + 1)(m + 1)}{(m + 1)(m + 7)} = \frac{m + 1}{m + 7}$.

Ответ: $\frac{m + 1}{m + 7}$