Номер 5.175, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.175. Из смеси двух видов сухофруктов готовят компот. Стоимость 1 кг первого вида сухофруктов 400 тг, а второго вида – 530 тг. Какими должны быть доли каждого вида сухофруктов, взятого для приготовления компота, чтобы стоимость 1 кг последней смеси не превышала 450 тг?

Для решения этой задачи определим доли каждого вида сухофруктов в смеси. Пусть общая масса смеси составляет 1 кг.

Обозначим за $x$ долю (массовую часть) первого вида сухофруктов, стоимость которого 400 тг за кг. Поскольку общая доля всех компонентов в смеси равна 1, доля второго вида сухофруктов, стоимость которого 530 тг за кг, будет равна $(1 - x)$.

Доля каждого компонента не может быть отрицательной или превышать 1, поэтому должны выполняться условия: $0 \le x \le 1$ и $0 \le (1-x) \le 1$, что равносильно $0 \le x \le 1$.

Стоимость 1 кг смеси определяется как сумма произведений стоимости каждого вида сухофруктов на его долю в смеси: $C = 400 \cdot x + 530 \cdot (1 - x)$

По условию задачи, стоимость 1 кг смеси не должна превышать 450 тг. Составим и решим соответствующее неравенство: $400x + 530(1 - x) \le 450$

Раскроем скобки и упростим выражение: $400x + 530 - 530x \le 450$

Приведем подобные слагаемые: $530 - 130x \le 450$

Перенесем 530 в правую часть неравенства: $-130x \le 450 - 530$ $-130x \le -80$

Разделим обе части неравенства на -130. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x \ge \frac{-80}{-130}$ $x \ge \frac{8}{13}$

Это означает, что доля первого вида сухофруктов (стоимостью 400 тг) должна быть не меньше $\frac{8}{13}$. Учитывая, что $x \le 1$, получаем диапазон для доли первого вида: $\frac{8}{13} \le x \le 1$.

Теперь найдем, какой должна быть доля второго вида сухофруктов, равная $(1 - x)$. Если $x \ge \frac{8}{13}$, то $-x \le -\frac{8}{13}$. Прибавив 1 к обеим частям, получим: $1 - x \le 1 - \frac{8}{13}$ $1 - x \le \frac{5}{13}$

Поскольку доля второго вида не может быть отрицательной, ее диапазон: $0 \le (1-x) \le \frac{5}{13}$.

Ответ: Доля первого вида сухофруктов (стоимостью 400 тг/кг) должна быть в пределах от $\frac{8}{13}$ до 1 включительно, а доля второго вида сухофруктов (стоимостью 530 тг/кг) — от 0 до $\frac{5}{13}$ включительно.