Номер 5.176, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.176. Междугородный автобус первый час шел со средней скоростью 70 км/ч. Водитель подсчитал, что если он продолжит движение с этой же скоростью, то он отстанет от графика на полчаса. Поэтому он увеличил скорость на 10 км/ч и прибыл в пункт назначения вовремя. Какое расстояние прошел автобус?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_1 = 70$ км/ч – начальная средняя скорость автобуса.
$t_1 = 1$ ч – время движения с начальной скоростью.
$S_{общ}$ – общее расстояние, которое должен был проехать автобус.
$S_1$ – расстояние, пройденное за первый час.
$S_{ост}$ – оставшееся расстояние после первого часа движения.
$T_{ост\_план}$ – плановое время на преодоление оставшегося расстояния.

Сначала найдем расстояние, которое автобус проехал за первый час:
$S_1 = v_1 \times t_1 = 70 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 70 \text{ км}$.

Оставшаяся часть пути равна $S_{ост} = S_{общ} - 70$.

Из условия известно, что если бы автобус продолжал ехать с той же скоростью $v_1 = 70$ км/ч, он бы опоздал на полчаса (0,5 ч). Это означает, что время, затраченное на оставшийся путь, было бы на 0,5 часа больше, чем было запланировано по графику. Составим первое уравнение:
$\frac{S_{ост}}{70} = T_{ост\_план} + 0.5$

Чтобы приехать вовремя, водитель увеличил скорость на 10 км/ч. Новая скорость $v_2$ составила:
$v_2 = v_1 + 10 = 70 + 10 = 80$ км/ч.
С этой скоростью автобус преодолел оставшееся расстояние $S_{ост}$ и уложился в график, то есть затратил ровно плановое время $T_{ост\_план}$. Составим второе уравнение:
$\frac{S_{ост}}{80} = T_{ост\_план}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $T_{ост\_план}$ из второго уравнения в первое:
$\frac{S_{ост}}{70} = \frac{S_{ост}}{80} + 0.5$

Решим это уравнение относительно $S_{ост}$. Перенесем все члены с $S_{ост}$ в левую часть:
$\frac{S_{ост}}{70} - \frac{S_{ост}}{80} = 0.5$
Вынесем $S_{ост}$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю (560):
$S_{ост} \left( \frac{1}{70} - \frac{1}{80} \right) = 0.5$
$S_{ост} \left( \frac{8}{560} - \frac{7}{560} \right) = 0.5$
$S_{ост} \left( \frac{1}{560} \right) = 0.5$
Теперь найдем $S_{ост}$:
$S_{ост} = 0.5 \times 560 = 280$ км.

Итак, оставшееся расстояние составляет 280 км. Чтобы найти общее расстояние, которое прошел автобус, сложим расстояние, пройденное в первый час, и оставшееся расстояние:
$S_{общ} = S_1 + S_{ост} = 70 \text{ км} + 280 \text{ км} = 350 \text{ км}$.

Ответ: 350 км.