Номер 4.6, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.6. X: 1, 4, 5, 8, 9

$\omega_i$: 0,15, 0,25, 0,3, 0,2, 0,1

В задаче 4.6 представлен закон распределения дискретной случайной величины X. Поскольку конкретный вопрос отсутствует, найдем ее основные числовые характеристики и построим функцию распределения.

Закон распределения задан таблицей:

Проверим корректность задания закона распределения. Сумма всех вероятностей (относительных частот) $\omega_i$ должна быть равна единице.
$\sum \omega_i = 0,15 + 0,25 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1,0$.
Условие выполняется, распределение задано корректно.

Математическое ожидание M(X)

Математическое ожидание (или среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Формула:
$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \omega_i$
Подставим значения из таблицы:
$M(X) = 1 \cdot 0,15 + 4 \cdot 0,25 + 5 \cdot 0,3 + 8 \cdot 0,2 + 9 \cdot 0,1$
$M(X) = 0,15 + 1,0 + 1,5 + 1,6 + 0,9 = 5,15$
Ответ: $M(X) = 5,15$.

Дисперсия D(X)

Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Формула для вычисления:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$
Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:
$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot \omega_i$
$M(X^2) = 1^2 \cdot 0,15 + 4^2 \cdot 0,25 + 5^2 \cdot 0,3 + 8^2 \cdot 0,2 + 9^2 \cdot 0,1$
$M(X^2) = (1 \cdot 0,15) + (16 \cdot 0,25) + (25 \cdot 0,3) + (64 \cdot 0,2) + (81 \cdot 0,1)$
$M(X^2) = 0,15 + 4,0 + 7,5 + 12,8 + 8,1 = 32,55$
Теперь, используя найденные значения $M(X)$ и $M(X^2)$, вычислим дисперсию:
$D(X) = 32,55 - (5,15)^2 = 32,55 - 26,5225 = 6,0275$
Ответ: $D(X) = 6,0275$.

Среднеквадратическое отклонение $\sigma(X)$

Среднеквадратическое (или стандартное) отклонение — это корень квадратный из дисперсии. Оно измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина.
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$
$\sigma(X) = \sqrt{6,0275} \approx 2,4551$
Ответ: $\sigma(X) \approx 2,4551$.

Мода (Mo) и медиана (Me)

Мода (Mo) — это наиболее вероятное значение случайной величины. Из таблицы видно, что наибольшую вероятность $\omega_{max} = 0,3$ имеет значение $X=5$.
Медиана (Me) — это такое значение $x_k$, что вероятность того, что случайная величина примет значение не больше $x_k$, не меньше 0,5, и вероятность того, что она примет значение не меньше $x_k$, также не меньше 0,5. Для нахождения медианы вычислим накопленные вероятности:
$P(X \le 1) = 0,15$
$P(X \le 4) = 0,15 + 0,25 = 0,40$
$P(X \le 5) = 0,40 + 0,30 = 0,70$
Поскольку $P(X \le 4) = 0,40 < 0,5$, а $P(X \le 5) = 0,70 \ge 0,5$, медианой является значение $Me=5$.
Ответ: Мода $Mo = 5$, Медиана $Me = 5$.

Интегральная функция распределения F(x)

Интегральная функция распределения $F(x)$ определяет для каждого значения $x$ вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное $x$.
Найдем значения функции $F(x)$ для всех действительных $x$:
- при $x \le 1$, $F(x) = P(X \le x) = 0$.
- при $1 < x \le 4$, $F(x) = P(X \le x) = P(X=1) = 0,15$.
- при $4 < x \le 5$, $F(x) = P(X \le x) = P(X=1) + P(X=4) = 0,15 + 0,25 = 0,40$.
- при $5 < x \le 8$, $F(x) = P(X \le x) = 0,40 + P(X=5) = 0,40 + 0,3 = 0,70$.
- при $8 < x \le 9$, $F(x) = P(X \le x) = 0,70 + P(X=8) = 0,70 + 0,2 = 0,90$.
- при $x > 9$, $F(x) = P(X \le x) = 0,90 + P(X=9) = 0,90 + 0,1 = 1,0$.
Таким образом, функция распределения имеет ступенчатый вид:
$ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \le 1 \\ 0,15, & \text{при } 1 < x \le 4 \\ 0,40, & \text{при } 4 < x \le 5 \\ 0,70, & \text{при } 5 < x \le 8 \\ 0,90, & \text{при } 8 < x \le 9 \\ 1, & \text{при } x > 9 \end{cases} $
Ответ: Функция распределения $F(x)$ задается приведенной выше системой.