Номер 4.5, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.5. $X$: 2, 4, 5, 7, 10

$w_i$: 0,15, 0,2, 0,1, 0,1, 0,45

Для заданного в таблице ряда распределения дискретной случайной величины X найдем ее основные числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Вначале выполним проверку корректности ряда распределения. Сумма всех относительных частот (вероятностей) $ω_i$ должна быть равна единице.

$\sum ω_i = 0,15 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,45 = 1,0$

Условие выполняется, следовательно, ряд распределения задан верно.

а) Найти математическое ожидание $M(X)$

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Формула для расчета:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot ω_i$

Подставляем значения из таблицы:

$M(X) = 2 \cdot 0,15 + 4 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,1 + 7 \cdot 0,1 + 10 \cdot 0,45 = 0,3 + 0,8 + 0,5 + 0,7 + 4,5 = 6,8$

Ответ: $M(X) = 6,8$

б) Найти дисперсию $D(X)$

Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Для ее вычисления воспользуемся формулой:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала необходимо найти математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot ω_i$

$M(X^2) = 2^2 \cdot 0,15 + 4^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,1 + 7^2 \cdot 0,1 + 10^2 \cdot 0,45$

$M(X^2) = 4 \cdot 0,15 + 16 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,1 + 49 \cdot 0,1 + 100 \cdot 0,45 = 0,6 + 3,2 + 2,5 + 4,9 + 45 = 56,2$

Теперь, используя найденные значения $M(X) = 6,8$ и $M(X^2) = 56,2$, вычисляем дисперсию:

$D(X) = 56,2 - (6,8)^2 = 56,2 - 46,24 = 9,96$

Ответ: $D(X) = 9,96$

в) Найти среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение — это корень квадратный из дисперсии. Оно измеряет разброс в тех же единицах, что и сама случайная величина.

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Подставляем ранее вычисленное значение дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{9,96} \approx 3,156$

Ответ: $\sigma(X) \approx 3,156$