Номер 4.4, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.4. X 15 20 25 30 5

$m_i$ 10 15 30 20 5

На изображении представлен дискретный статистический ряд распределения. Первая строка таблицы (X) — это значения (варианты) случайной величины, а вторая строка ($m_i$) — их частоты. Для полного анализа этого ряда необходимо вычислить его основные статистические характеристики.

Исходные данные:

а) Построение вариационного ряда и определение объема выборки

Для удобства расчетов и анализа упорядочим значения X по возрастанию. Такой ряд называется вариационным.

Объем выборки $n$ равен сумме всех частот: $n = \sum m_i = 5 + 10 + 15 + 30 + 20 = 80$.

Ответ: Вариационный ряд представлен в таблице выше, объем выборки $n = 80$.

б) Нахождение моды и медианы

Мода ($Mo$) — это значение с наибольшей частотой. Из вариационного ряда видно, что максимальная частота $m_{max} = 30$ соответствует значению $x = 25$.

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Объем выборки $n = 80$ — четное число, поэтому медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов с номерами $n/2=40$ и $n/2+1=41$. Для их нахождения составим таблицу накопленных частот:

Из таблицы следует, что элементы с 31-го по 60-й равны 25. Таким образом, 40-й и 41-й элементы выборки равны 25. $Me = \frac{25 + 25}{2} = 25$.

Ответ: Мода $Mo = 25$, медиана $Me = 25$.

в) Вычисление выборочной средней

Выборочная средняя ($\bar{x}$) вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{\sum x_i m_i}{n}$.

Вычислим сумму произведений значений на их частоты, используя данные из вариационного ряда: $\sum x_i m_i = (5 \cdot 5) + (15 \cdot 10) + (20 \cdot 15) + (25 \cdot 30) + (30 \cdot 20) = 25 + 150 + 300 + 750 + 600 = 1825$.

Найдем среднее, разделив сумму на объем выборки $n = 80$: $\bar{x} = \frac{1825}{80} = 22.8125$.

Ответ: Выборочная средняя $\bar{x} = 22.8125$.

г) Вычисление выборочной дисперсии и стандартного отклонения

Выборочная (несмещенная) дисперсия ($s^2$) является мерой разброса данных и вычисляется по формуле: $s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum m_i x_i^2 - n \bar{x}^2 \right)$.

Сначала найдем сумму произведений квадратов значений на их частоты: $\sum m_i x_i^2 = 5 \cdot 5^2 + 10 \cdot 15^2 + 15 \cdot 20^2 + 30 \cdot 25^2 + 20 \cdot 30^2$ $= 125 + 2250 + 6000 + 18750 + 18000 = 45125$.

Теперь подставим все значения в формулу для дисперсии: $s^2 = \frac{1}{80-1} \left( 45125 - 80 \cdot (22.8125)^2 \right) = \frac{1}{79} \left( 45125 - 41632.8125 \right) = \frac{3492.1875}{79} \approx 44.2049$.

Выборочное стандартное (среднее квадратическое) отклонение ($s$) — это квадратный корень из дисперсии: $s = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{44.2049} \approx 6.6487$.

Ответ: Выборочная дисперсия $s^2 \approx 44.20$, выборочное стандартное отклонение $s \approx 6.65$.