Номер 4.3, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.3. $X$, 2, 3, 5, 6

$m_i$, 10, 15, 5, 20

На основе предоставленной таблицы распределения частот найдем основные статистические характеристики выборки.

Объем выборки $n$ равен сумме всех частот $m_i$. В данном случае имеем частоты для каждого значения $X$:

• Для $X=2$, частота $m_1 = 10$
• Для $X=3$, частота $m_2 = 15$
• Для $X=5$, частота $m_3 = 5$
• Для $X=6$, частота $m_4 = 20$

Следовательно, объем выборки равен:

$n = \sum m_i = 10 + 15 + 5 + 20 = 50$

Ответ: Объем выборки равен 50.

Мода ($Mo$) — это значение признака ($X$), которое встречается в выборке наиболее часто. Для нахождения моды необходимо найти наибольшую частоту $m_i$ в таблице.

Среди данных частот (10, 15, 5, 20) наибольшей является частота 20.

Это значение частоты соответствует значению $X = 6$.

Ответ: Мода $Mo = 6$.

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную по возрастанию выборку на две равные по количеству части. Так как объем выборки $n=50$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, то есть элементов, стоящих на позициях $n/2$ и $n/2 + 1$.

Номера позиций: $50/2 = 25$ и $50/2 + 1 = 26$.

Чтобы найти значения этих элементов, составим таблицу накопленных частот:

• Значение $X=2$ (частота 10) занимает позиции в упорядоченном ряду с 1 по 10.
• Значение $X=3$ (частота 15) занимает позиции с 11 по $10+15=25$.
• Значение $X=5$ (частота 5) занимает позиции с 26 по $25+5=30$.
• Значение $X=6$ (частота 20) занимает позиции с 31 по $30+20=50$.

Из таблицы накопленных частот видно, что 25-й элемент выборки равен 3, а 26-й элемент равен 5.

Тогда медиана вычисляется как:

$Me = \frac{x_{25} + x_{26}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Ответ: Медиана $Me = 4$.

Выборочное среднее ($\bar{X}$) вычисляется по формуле:

$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i m_i}{n}$

где $x_i$ — значения вариант, $m_i$ — их частоты, $n$ — объем выборки.

Найдем сумму произведений значений на их частоты:

$\sum x_i m_i = (2 \cdot 10) + (3 \cdot 15) + (5 \cdot 5) + (6 \cdot 20) = 20 + 45 + 25 + 120 = 210$

Подставим известные значения в формулу среднего:

$\bar{X} = \frac{210}{50} = 4.2$

Ответ: Выборочное среднее $\bar{X} = 4.2$.

Выборочная дисперсия ($D_B$) — это мера разброса данных, равная среднему арифметическому квадратов отклонений значений выборки от их среднего. Она вычисляется по формуле:

$D_B = \overline{X^2} - (\bar{X})^2 = \frac{\sum x_i^2 m_i}{n} - (\bar{X})^2$

Воспользуемся этой формулой, так как она удобнее для расчетов. Сначала найдем $\overline{X^2}$ (среднее значение квадратов вариант):

$\sum x_i^2 m_i = (2^2 \cdot 10) + (3^2 \cdot 15) + (5^2 \cdot 5) + (6^2 \cdot 20) = (4 \cdot 10) + (9 \cdot 15) + (25 \cdot 5) + (36 \cdot 20) = 40 + 135 + 125 + 720 = 1020$

Теперь вычислим $\overline{X^2}$:

$\overline{X^2} = \frac{1020}{50} = 20.4$

Мы уже знаем, что $\bar{X} = 4.2$, следовательно, $(\bar{X})^2 = (4.2)^2 = 17.64$.

Теперь можем найти дисперсию:

$D_B = 20.4 - 17.64 = 2.76$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma_B$) — это корень квадратный из дисперсии, показывающий, насколько в среднем значения отклоняются от среднего.

$\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{2.76} \approx 1.661$

Округлим до сотых: $\sigma_B \approx 1.66$.

Ответ: Выборочная дисперсия $D_B = 2.76$; среднее квадратическое отклонение $\sigma_B \approx 1.66$.