Номер 3.160, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.160. Пусть $x>0$ и $x<0$. Докажите, что функция $y = \frac{k}{x}$ при $k>0$ убывает, а при $k<0$ возрастает, определите, какие из нижеследующих функций являются убывающими, а какие – возрастающими. В каких координатных четвертях расположены графики этих функций:

1) $y=\frac{3}{x}$;

2) $y=-\frac{10}{x}$;

3) $y=-\frac{1}{2x}$;

4) $y=\frac{1}{4x}$?

Сначала докажем общее утверждение о монотонности функции $y = \frac{k}{x}$ на промежутках её определения $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Напомним, что функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Функция называется возрастающей, если при $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$.

Доказательство для случая $k > 0$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — две любые точки из одного промежутка области определения ($(-\infty; 0)$ или $(0; +\infty)$), причем $x_1 < x_2$. Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$y_2 - y_1 = \frac{k}{x_2} - \frac{k}{x_1} = k \left(\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1}\right) = k \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$.

Проанализируем знак этого выражения:

• $k > 0$ (по условию).
• $x_1 - x_2 < 0$, так как мы выбрали $x_1 < x_2$.
• $x_1 x_2 > 0$, так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат одному и тому же промежутку и, следовательно, имеют одинаковый знак.

Таким образом, числитель $k(x_1 - x_2)$ отрицателен, а знаменатель $x_1 x_2$ положителен. Вся дробь отрицательна: $y_2 - y_1 < 0$, что равносильно $y_2 < y_1$. Так как большему значению аргумента ($x_2$) соответствует меньшее значение функции ($y_2$), функция $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ является убывающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Доказательство для случая $k < 0$

Снова возьмем $x_1 < x_2$ и рассмотрим ту же разность $y_2 - y_1 = k \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$.

Проанализируем знак выражения:

• $k < 0$ (по условию).
• $x_1 - x_2 < 0$.
• $x_1 x_2 > 0$.

В этом случае числитель $k(x_1 - x_2)$ является произведением двух отрицательных чисел, поэтому он положителен. Знаменатель $x_1 x_2$ также положителен. Вся дробь положительна: $y_2 - y_1 > 0$, что равносильно $y_2 > y_1$. Так как большему значению аргумента ($x_2$) соответствует большее значение функции ($y_2$), функция $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ является возрастающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Теперь проанализируем каждую из заданных функций.

1) $y=\frac{3}{x}$

Эта функция имеет вид $y=\frac{k}{x}$, где коэффициент $k=3$. Поскольку $k=3 > 0$, согласно доказанному выше, функция является убывающей. Расположение графика (гиперболы) зависит от знака $k$. Если $k > 0$, то при $x > 0$ имеем $y > 0$ (I четверть), а при $x < 0$ имеем $y < 0$ (III четверть).
Ответ: функция убывающая; график расположен в I и III координатных четвертях.

2) $y=-\frac{10}{x}$

В данном случае $k=-10$. Поскольку $k=-10 < 0$, функция является возрастающей. Если $k < 0$, то при $x > 0$ имеем $y < 0$ (IV четверть), а при $x < 0$ имеем $y > 0$ (II четверть).
Ответ: функция возрастающая; график расположен во II и IV координатных четвертях.

3) $y=-\frac{1}{2x}$

Функцию можно записать в стандартном виде $y=\frac{-1/2}{x}$. Здесь коэффициент $k=-\frac{1}{2}$. Поскольку $k=-1/2 < 0$, функция является возрастающей. Так как $k < 0$, ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях.
Ответ: функция возрастающая; график расположен во II и IV координатных четвертях.

4) $y=\frac{1}{4x}$

Функцию можно записать в виде $y=\frac{1/4}{x}$. Здесь коэффициент $k=\frac{1}{4}$. Поскольку $k=1/4 > 0$, функция является убывающей. Так как $k > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях.
Ответ: функция убывающая; график расположен в I и III координатных четвертях.