Номер 4.2, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.2. $X$ | 4 | 7 | 8

$m_i$ | 5 | 2 | 3

В задаче представлен дискретный вариационный ряд в виде таблицы распределения. В верхней строке ($X$) указаны значения вариант (наблюдаемые значения), а в нижней строке ($m_i$) — их частоты (сколько раз каждое значение встречается в выборке). Для полного анализа этого ряда необходимо найти его основные статистические характеристики.

а) Нахождение объема выборки и выборочного среднего

Объем выборки $n$ — это общее количество наблюдений, которое равно сумме всех частот:
$n = \sum m_i = 5 + 2 + 3 = 10$.
Выборочное среднее (или среднее арифметическое) $\bar{x}$ для дискретного ряда вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i m_i}{n}$
Подставим значения из таблицы:
$\bar{x} = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 8 \cdot 3}{10} = \frac{20 + 14 + 24}{10} = \frac{58}{10} = 5.8$.
Ответ: Объем выборки $n = 10$, выборочное среднее $\bar{x} = 5.8$.

б) Нахождение моды и медианы

Мода ($Mo$) — это значение из выборки, которое встречается наиболее часто. Из таблицы частот видно, что наибольшая частота $m=5$ соответствует значению $X=4$.
Следовательно, мода выборки равна 4.
Медиана ($Me$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Для ее нахождения сначала выпишем все значения выборки в порядке возрастания (ранжированный ряд):
4, 4, 4, 4, 4, 7, 7, 8, 8, 8.
Объем выборки $n = 10$ является четным числом. В этом случае медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов ряда. Номера этих элементов — $n/2$ и $n/2 + 1$.
То есть, нам нужны 5-й и 6-й элементы ряда.
Пятый элемент ряда $x_5 = 4$. Шестой элемент ряда $x_6 = 7$.
Вычисляем медиану:
$Me = \frac{x_5 + x_6}{2} = \frac{4 + 7}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$.
Ответ: Мода $Mo = 4$, медиана $Me = 5.5$.

в) Нахождение выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения

Выборочная дисперсия является мерой разброса данных относительно их среднего значения. Различают смещенную и несмещенную (исправленную) выборочные дисперсии.
Смещенная выборочная дисперсия ($D_B$) вычисляется по формуле:
$D_B = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 m_i}{n}$
Рассчитаем сумму квадратов отклонений от среднего, используя найденное значение $\bar{x} = 5.8$:
$\sum (x_i - \bar{x})^2 m_i = (4 - 5.8)^2 \cdot 5 + (7 - 5.8)^2 \cdot 2 + (8 - 5.8)^2 \cdot 3$
$= (-1.8)^2 \cdot 5 + (1.2)^2 \cdot 2 + (2.2)^2 \cdot 3$
$= 3.24 \cdot 5 + 1.44 \cdot 2 + 4.84 \cdot 3 = 16.2 + 2.88 + 14.52 = 33.6$.
Теперь находим смещенную дисперсию:
$D_B = \frac{33.6}{10} = 3.36$.
Несмещенная (исправленная) выборочная дисперсия ($s^2$) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности и вычисляется по формуле:
$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 m_i}{n-1} = \frac{33.6}{10-1} = \frac{33.6}{9} = \frac{56}{15} \approx 3.73$.
Среднее квадратическое отклонение — это корень квадратный из дисперсии, который показывает, насколько в среднем значения отклоняются от центра распределения.
Смещенное среднее квадратическое отклонение:
$\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{3.36} \approx 1.83$.
Несмещенное (исправленное) среднее квадратическое отклонение:
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{56}{15}} \approx \sqrt{3.733...} \approx 1.93$.
Ответ: Смещенная выборочная дисперсия $D_B = 3.36$; несмещенная выборочная дисперсия $s^2 = \frac{56}{15} \approx 3.73$. Смещенное среднее квадратическое отклонение $\sigma_B \approx 1.83$; несмещенное среднее квадратическое отклонение $s \approx 1.93$.