Номер 3.104, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.104. При каких условиях прямая $ax + by = c$:

1) параллельна оси $Ox$;

2) параллельна оси $Oy$;

3) проходит через начало координат;

4) параллельна прямой $2x - 3y = 7$;

5) перпендикулярна прямой $2x - y = 7$?

Проанализируем общее уравнение прямой $ax + by = c$. Чтобы это уравнение задавало прямую, коэффициенты $a$ и $b$ не должны быть одновременно равны нулю, то есть должно выполняться условие $a^2 + b^2 \neq 0$.

1) параллельна оси Ox

Уравнение прямой, параллельной оси Ox (оси абсцисс), имеет вид $y = \text{const}$. Исходное уравнение $ax + by = c$ можно привести к такому виду, если коэффициент при $x$ равен нулю. Для этого необходимо, чтобы $a = 0$. При этом, чтобы уравнение оставалось уравнением прямой, коэффициент при $y$ не должен быть равен нулю, то есть $b \neq 0$. В этом случае уравнение принимает вид $by = c$, или $y = \frac{c}{b}$, что и является уравнением прямой, параллельной оси Ox.

Ответ: $a=0, b \neq 0$.

2) параллельна оси Oy

Уравнение прямой, параллельной оси Oy (оси ординат), имеет вид $x = \text{const}$. Исходное уравнение $ax + by = c$ можно привести к такому виду, если коэффициент при $y$ равен нулю. Для этого необходимо, чтобы $b = 0$. При этом, чтобы уравнение определяло прямую, коэффициент при $x$ должен быть отличен от нуля, то есть $a \neq 0$. В этом случае уравнение принимает вид $ax = c$, или $x = \frac{c}{a}$, что является уравнением прямой, параллельной оси Oy.

Ответ: $b=0, a \neq 0$.

3) проходит через начало координат

Начало координат — это точка с координатами $(0, 0)$. Если прямая проходит через эту точку, ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим $x=0$ и $y=0$ в уравнение $ax + by = c$:

$a \cdot 0 + b \cdot 0 = c$

Отсюда получаем $c = 0$. При этом, чтобы уравнение задавало прямую, коэффициенты $a$ и $b$ не могут быть одновременно равны нулю.

Ответ: $c=0$ (при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно).

4) параллельна прямой $2x - 3y = 7$

Две прямые $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ коллинеарны. Это означает, что их координаты пропорциональны.

Для прямой $ax + by = c$ и прямой $2x - 3y = 7$ нормальные векторы равны $\vec{n_1}=(a, b)$ и $\vec{n_2}=(2, -3)$ соответственно. Условие их коллинеарности:

$\frac{a}{2} = \frac{b}{-3}$

Это равенство можно переписать в виде $-3a = 2b$, или $3a + 2b = 0$. Это условие должно выполняться для коэффициентов $a$ и $b$ (при условии, что они не равны нулю одновременно, что автоматически следует из пропорциональности ненулевому вектору).

Ответ: Коэффициенты $a$ и $b$ пропорциональны числам $2$ и $-3$, то есть выполняется соотношение $\frac{a}{2} = \frac{b}{-3}$.

5) перпендикулярна прямой $2x - y = 7$

Две прямые перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны. Условие ортогональности векторов — равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

Нормальный вектор для прямой $ax + by = c$ — это $\vec{n_1}=(a, b)$.

Нормальный вектор для прямой $2x - y = 7$ — это $\vec{n_2}=(2, -1)$.

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a \cdot 2 + b \cdot (-1) = 2a - b$

Приравнивая скалярное произведение к нулю, получаем условие перпендикулярности:

$2a - b = 0$

Это соотношение должно выполняться для коэффициентов $a$ и $b$ (при условии, что они не равны нулю одновременно).

Ответ: $2a - b = 0$ (при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно).