Вопросы, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте свойства функции $y=x^2$. Как отражаются эти свойства на графике функции $y=x^2$?

2. Сформулируйте свойства функции $y=x^3$. Как отражаются эти свойства на графике функции $y=x^3$?

1.

Свойства функции $y=x^2$ и их отражение на графике (параболе):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ можно вычислить значение $y$.
  На графике: парабола является сплошной линией, которая простирается бесконечно влево и вправо вдоль оси $Ox$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, значения функции всегда больше либо равны нулю.
  На графике: вся парабола расположена в верхней полуплоскости, то есть выше оси $Ox$. Самая нижняя точка графика находится на оси $Ox$ — это $(0, 0)$.
• Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$.
  На графике: график функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Левая ветвь параболы является зеркальным отражением правой.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
  На графике: парабола пересекает оси координат только в одной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при всех $x \neq 0$.
  На графике: все точки параболы, кроме вершины, лежат выше оси $Ox$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
  На графике: при движении слева направо до точки $(0, 0)$ график "опускается", а после этой точки — "поднимается".
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума: $y_{min} = 0$. Максимума у функции нет.
  На графике: точка $(0, 0)$ является вершиной параболы — это ее самая низкая точка.

Ответ: Свойства функции $y=x^2$ определяют ее график — параболу. Область определения и область значений показывают, что парабола бесконечна и расположена выше оси $Ox$. Четность функции отражается в симметрии графика относительно оси $Oy$. Нули, промежутки знакопостоянства и монотонности определяют ключевую точку графика — вершину $(0, 0)$, где функция меняет убывание на возрастание.

2.

Свойства функции $y=x^3$ и их отражение на графике (кубической параболе):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция определена для всех действительных чисел $x$.
  На графике: кубическая парабола является сплошной линией, которая простирается бесконечно влево и вправо.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция может принимать любые действительные значения.
  На графике: график простирается бесконечно как вверх, так и вниз, занимая все пространство по вертикали.
• Нечетность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$.
  На графике: график функции симметричен относительно начала координат $(0, 0)$. Если повернуть одну часть графика на 180° вокруг начала координат, она совпадет с другой частью.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
  На графике: кубическая парабола пересекает оси координат только в одной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при $x>0$ и отрицательна ($y<0$) при $x<0$.
  На графике: при $x>0$ график находится в I координатной четверти (выше оси $Ox$), а при $x<0$ — в III координатной четверти (ниже оси $Ox$).
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
  На графике: при движении слева направо график постоянно "поднимается".
• Экстремумы: функция не имеет точек минимума и максимума.
  На графике: у кубической параболы нет "вершин" или "впадин". Точка $(0,0)$ является точкой перегиба, где меняется направление выпуклости графика.

Ответ: Свойства функции $y=x^3$ определяют ее график — кубическую параболу. Область определения и область значений показывают, что график бесконечен в обеих плоскостях. Нечетность функции отражается в ее симметрии относительно начала координат. Постоянное возрастание и знаки функции определяют ее расположение в I и III координатных четвертях и прохождение через точку $(0,0)$.