Номер 5.15, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.15. Можно ли трехчлен представить в виде квадрата двучлена:

1) $a^2-2a+4;$

2) $9m^2+100n^2-60mn;$

3) $4a^2+b^2-4ab;$

4) $81p^2-72pq-16q^2;$

5) $9x^8+4y^2-12x^4y;$

6) $a^2b^4-2ab^2x^4+x^8?$

Для того чтобы определить, можно ли трехчлен представить в виде квадрата двучлена, необходимо проверить, соответствует ли он одной из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Квадрат разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

Проанализируем каждый трехчлен:

1) $a^2 - 2a + 4$

Попробуем применить формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В данном трехчлене можно предположить, что $A^2 = a^2$, откуда $A=a$, и $B^2 = 4$, откуда $B=2$.

Тогда удвоенное произведение $2AB$ должно быть равно $2 \cdot a \cdot 2 = 4a$.

Однако в исходном трехчлене средний член равен $2a$, а не $4a$. Следовательно, этот трехчлен не является полным квадратом.

Ответ: нет.

2) $9m^2 + 100n^2 - 60mn$

Переставим члены, чтобы привести трехчлен к стандартному виду: $9m^2 - 60mn + 100n^2$.

Сравним с формулой $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = 9m^2 = (3m)^2$, значит $A=3m$.

$B^2 = 100n^2 = (10n)^2$, значит $B=10n$.

Удвоенное произведение $2AB$ равно $2 \cdot (3m) \cdot (10n) = 60mn$.

Средний член в трехчлене равен $-60mn$, что соответствует формуле квадрата разности.

Таким образом, $9m^2 - 60mn + 100n^2 = (3m - 10n)^2$.

Ответ: да, $(3m-10n)^2$.

3) $4a^2 + b^2 - 4ab$

Приведем к стандартному виду: $4a^2 - 4ab + b^2$.

Сравним с формулой $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = 4a^2 = (2a)^2$, откуда $A=2a$.

$B^2 = b^2$, откуда $B=b$.

Удвоенное произведение $2AB$ равно $2 \cdot (2a) \cdot b = 4ab$.

Средний член равен $-4ab$, что соответствует формуле.

Следовательно, $4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)^2$.

Ответ: да, $(2a-b)^2$.

4) $81p^2 - 72pq - 16q^2$

В формулах квадрата двучлена $(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$ оба члена, являющиеся квадратами ($A^2$ и $B^2$), должны быть положительными.

В данном трехчлене присутствует член $-16q^2$. Так как он отрицателен, он не может быть представлен в виде квадрата действительного выражения. Следовательно, данный трехчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена.

Ответ: нет.

5) $9x^8 + 4y^2 - 12x^4y$

Приведем к стандартному виду: $9x^8 - 12x^4y + 4y^2$.

Сравним с формулой $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = 9x^8 = (3x^4)^2$, значит $A=3x^4$.

$B^2 = 4y^2 = (2y)^2$, значит $B=2y$.

Удвоенное произведение $2AB$ равно $2 \cdot (3x^4) \cdot (2y) = 12x^4y$.

Средний член равен $-12x^4y$, что соответствует формуле.

Таким образом, $9x^8 - 12x^4y + 4y^2 = (3x^4 - 2y)^2$.

Ответ: да, $(3x^4-2y)^2$.

6) $a^2b^4 - 2ab^2x^4 + x^8$

Трехчлен уже представлен в стандартном виде. Сравним его с формулой $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = a^2b^4 = (ab^2)^2$, значит $A=ab^2$.

$B^2 = x^8 = (x^4)^2$, значит $B=x^4$.

Удвоенное произведение $2AB$ равно $2 \cdot (ab^2) \cdot (x^4) = 2ab^2x^4$.

Средний член $-2ab^2x^4$ соответствует формуле квадрата разности.

Таким образом, $a^2b^4 - 2ab^2x^4 + x^8 = (ab^2 - x^4)^2$.

Ответ: да, $(ab^2-x^4)^2$.