Номер 5.21, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.21. Упростите выражение:

1) $(a+b)^2-(a-b)^2;$

2) $(m+4)^2-4(m+1)^2;$

3) $3(2-y)^2+4(y-5)^2;$

4) $5(3-5x)^2-5(3x-7)(3x+7);$

5) $(a+1)^2+3(a-1)^2-5(a-1)(a+1);$

6) $(x-1)^2-4(x+1)^2-6(x+1)(x-1).$

1) Для упрощения выражения $(a+b)^2-(a-b)^2$ можно использовать формулы сокращенного умножения или формулу разности квадратов.
Способ 1: Раскрытие скобок.
Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
Подставляем в исходное выражение:
$(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2$
Приводим подобные слагаемые:
$(a^2-a^2) + (2ab+2ab) + (b^2-b^2) = 4ab$
Способ 2: Разность квадратов.
Используем формулу $X^2-Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, где $X = a+b$, а $Y = a-b$.
$((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b)) = (a+b-a+b)(a+b+a-b) = (2b)(2a) = 4ab$
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $4ab$

2) Для упрощения выражения $(m+4)^2-4(m+1)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$(m+4)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 4 + 4^2 = m^2+8m+16$
$(m+1)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 1 + 1^2 = m^2+2m+1$
Подставляем раскрытые скобки в исходное выражение:
$(m^2+8m+16) - 4(m^2+2m+1)$
Раскрываем вторые скобки, умножая каждый член на -4:
$m^2+8m+16 - 4m^2-8m-4$
Приводим подобные слагаемые:
$(m^2-4m^2) + (8m-8m) + (16-4) = -3m^2+12$
Ответ: $-3m^2+12$

3) Для упрощения выражения $3(2-y)^2+4(y-5)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
$(2-y)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot y + y^2 = 4-4y+y^2$
$(y-5)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 = y^2-10y+25$
Подставляем раскрытые скобки в исходное выражение:
$3(4-4y+y^2) + 4(y^2-10y+25)$
Раскрываем скобки, умножая на коэффициенты 3 и 4:
$(12-12y+3y^2) + (4y^2-40y+100)$
Приводим подобные слагаемые:
$(3y^2+4y^2) + (-12y-40y) + (12+100) = 7y^2-52y+112$
Ответ: $7y^2-52y+112$

4) Упростим выражение $5(3-5x)^2-5(3x-7)(3x+7)$.
Первую часть $5(3-5x)^2$ упростим с помощью формулы квадрата разности:
$5(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5x + (5x)^2) = 5(9-30x+25x^2) = 45-150x+125x^2$
Вторую часть $-5(3x-7)(3x+7)$ упростим с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$-5((3x)^2 - 7^2) = -5(9x^2-49) = -45x^2+245$
Теперь сложим обе упрощенные части:
$(45-150x+125x^2) + (-45x^2+245)$
Приведем подобные слагаемые:
$(125x^2-45x^2) - 150x + (45+245) = 80x^2-150x+290$
Ответ: $80x^2-150x+290$

5) Упростим выражение $(a+1)^2+3(a-1)^2-5(a-1)(a+1)$.
Раскроем каждую часть выражения по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.
$(a+1)^2 = a^2+2a+1$
$3(a-1)^2 = 3(a^2-2a+1) = 3a^2-6a+3$
$-5(a-1)(a+1) = -5(a^2-1) = -5a^2+5$
Сложим все полученные выражения:
$(a^2+2a+1) + (3a^2-6a+3) + (-5a^2+5)$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2+3a^2-5a^2) + (2a-6a) + (1+3+5) = -a^2-4a+9$
Ответ: $-a^2-4a+9$

6) Упростим выражение $(x-1)^2-4(x+1)^2-6(x+1)(x-1)$.
Раскроем каждую часть выражения по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.
$(x-1)^2 = x^2-2x+1$
$-4(x+1)^2 = -4(x^2+2x+1) = -4x^2-8x-4$
$-6(x+1)(x-1) = -6(x^2-1) = -6x^2+6$
Сложим все полученные выражения:
$(x^2-2x+1) + (-4x^2-8x-4) + (-6x^2+6)$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2-4x^2-6x^2) + (-2x-8x) + (1-4+6) = -9x^2-10x+3$
Ответ: $-9x^2-10x+3$