Номер 4.32, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.32. 45 56 66 43 61 52 62 71 49 62

59 52 58 46 58 71 49 62 51 72

53 46 59 52 59 46 62 52 61 69

51 65 56 49 57 60 59 51 59 64

56 58 44 59 51 51 47 62 53 67

47 62 51 51 59 56 57 56 57 59

51 56 59 42 56 57 51 47 61 62

59 48 63 49 53 64 59 63 51 67

56 56 52 59 46 64 49 59 56 58

46 51 58 48 49 61 51 47 58 71

Для выполнения задания проведем полный статистический анализ представленной выборки, состоящей из $n=100$ элементов.

а) Вариационный ряд и таблица частот

Первым шагом является упорядочивание данных и подсчет частот для каждого значения. Ранжированный ряд представляет собой последовательность всех элементов выборки, отсортированных по возрастанию. Поскольку полный ранжированный ряд из 100 элементов будет очень громоздким, представим его в виде таблицы частот, которая наглядно показывает, сколько раз каждое значение (варианта $x_i$) встречается в выборке (частота $n_i$).

Сначала найдем минимальное и максимальное значения в выборке:

$x_{min} = 42$

$x_{max} = 72$

Таблица дискретного распределения частот:

Проверка: сумма всех частот $\sum n_i = 1+1+1+1+5+4+2+6+12+5+3+10+4+6+13+1+4+7+2+3+1+1+2+1+3+1 = 100$, что соответствует объему выборки.

Ответ: Вариационный ряд представлен в виде таблицы распределения частот.

б) Интервальный ряд, относительные и накопленные частоты

Для построения интервального ряда определим количество интервалов $k$. Используем формулу Стерджеса:

$k \approx 1 + 3.322 \cdot \lg(n) = 1 + 3.322 \cdot \lg(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 = 7.644$

Округлим до ближайшего целого, выберем $k=8$ интервалов.

Размах варьирования: $R = x_{max} - x_{min} = 72 - 42 = 30$.

Длина интервала: $h = \frac{R}{k} = \frac{30}{8} = 3.75$. Округлим до удобного значения $h=4$.

Новый, скорректированный размах $R' = k \cdot h = 8 \cdot 4 = 32$. Разницу $R' - R = 2$ распределим, сместив начало и конец диапазона на 1. Новый диапазон: от $42-1=41$ до $72+1=73$.

Составим таблицу интервального ряда, включив в нее середины интервалов ($x'_i$), частоты ($n_i$), относительные частоты ($w_i = n_i/n$), накопленные частоты и накопленные относительные частоты.

Ответ: Построен интервальный ряд распределения с 8 интервалами и шагом 4; рассчитаны относительные и накопленные частоты.

в) Построение полигона и гистограммы относительных частот

Гистограмма относительных частот строится следующим образом: по оси абсцисс откладываются интервалы значений, а по оси ординат — плотность относительной частоты ($w_i/h$) или сама относительная частота ($w_i$), если длина интервалов одинакова. Над каждым интервалом строится прямоугольник, высота которого пропорциональна (или равна) относительной частоте попадания значений в этот интервал.

Полигон относительных частот представляет собой ломаную линию, соединяющую точки с координатами $(x'_i, w_i)$, где $x'_i$ — середина i-го интервала, а $w_i$ — соответствующая ему относительная частота. Для замыкания полигона его крайние точки соединяют с точками на оси абсцисс, отстоящими на половину длины интервала от крайних середин интервалов.

Ответ: Дано словесное описание построения гистограммы и полигона на основе данных из интервальной таблицы.

г) Расчет основных числовых характеристик выборки

Вычислим моду, медиану и среднее арифметическое для исходного (несгруппированного) ряда, так как это дает точные значения.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}$)

Это сумма всех значений, деленная на их количество.

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} x_i n_i = \frac{1}{100} (42 \cdot 1 + 43 \cdot 1 + 44 \cdot 1 + 45 \cdot 1 + 46 \cdot 5 + 47 \cdot 4 + \dots + 72 \cdot 1)$

Сумма всех значений $\sum x_i n_i = 5591$.

$\bar{x} = \frac{5591}{100} = 55.91$

Ответ: Среднее арифметическое выборки равно 55.91.

2. Мода ($M_o$)

Мода — это значение, которое встречается в выборке чаще всего. Из таблицы частот (пункт а) видно, что значение 59 имеет наибольшую частоту $n_{59} = 13$.

$M_o = 59$

Для интервального ряда модальный интервал (с наибольшей частотой) — [57, 61), его частота 24. Расчетная мода для сгруппированных данных: $M_o \approx 59.32$.

Ответ: Мода выборки равна 59.

3. Медиана ($M_e$)

Медиана — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Так как объем выборки $n=100$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов: 50-го и 51-го.

Для нахождения этих элементов воспользуемся накопленными частотами из дискретного ряда.Накопленная частота для значения 53 равна 41.Накопленная частота для значения 56 равна $41 + 10 = 51$.Следовательно, элементы с 42-го по 51-й в упорядоченном ряду равны 56.Таким образом, $x_{50} = 56$ и $x_{51} = 56$.

$M_e = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{56 + 56}{2} = 56$

Для интервального ряда медианный интервал (в котором накопленная частота превышает 50) — [53, 57). Расчетная медиана для сгруппированных данных: $M_e \approx 56.69$.

Ответ: Медиана выборки равна 56.