Номер 4.25, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.25. $x$ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10

$n_i$ | 0,15 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,45

В задаче дан закон распределения дискретной случайной величины $X$. Значения $x_i$, которые принимает случайная величина, и соответствующие им относительные частоты $n_i$ (которые в данном случае являются вероятностями $p_i$, так как их сумма равна 1) представлены в таблице:

$\sum p_i = 0,15 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,45 = 1,0$.

Поскольку вопрос в задаче не указан, мы найдем основные числовые характеристики данного распределения: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

а) Найти математическое ожидание

Математическое ожидание $M(X)$ (или выборочное среднее) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
$M(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i p_i$
Подставим значения из таблицы:
$M(X) = (2 \cdot 0,15) + (4 \cdot 0,2) + (6 \cdot 0,1) + (8 \cdot 0,1) + (10 \cdot 0,45)$
$M(X) = 0,3 + 0,8 + 0,6 + 0,8 + 4,5$
$M(X) = 7,0$
Ответ: $M(X) = 7,0$.

б) Найти дисперсию

Дисперсия $D(X)$ характеризует меру разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она вычисляется по одной из формул:
$D(X) = \sum_{i=1}^{k} (x_i - M(X))^2 p_i$ или $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.
Воспользуемся второй формулой, так как она часто удобнее для вычислений. Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:
$M(X^2) = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 p_i$
$M(X^2) = (2^2 \cdot 0,15) + (4^2 \cdot 0,2) + (6^2 \cdot 0,1) + (8^2 \cdot 0,1) + (10^2 \cdot 0,45)$
$M(X^2) = (4 \cdot 0,15) + (16 \cdot 0,2) + (36 \cdot 0,1) + (64 \cdot 0,1) + (100 \cdot 0,45)$
$M(X^2) = 0,6 + 3,2 + 3,6 + 6,4 + 45,0$
$M(X^2) = 58,8$
Теперь вычислим дисперсию, используя найденные значения $M(X) = 7,0$ и $M(X^2) = 58,8$:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 58,8 - (7,0)^2 = 58,8 - 49 = 9,8$
Ответ: $D(X) = 9,8$.

в) Найти среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ (стандартное отклонение) — это наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины. Он равен квадратному корню из дисперсии:
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$
Подставим найденное значение дисперсии:
$\sigma(X) = \sqrt{9,8}$
$\sigma(X) \approx 3,130495...$
Округлим результат до двух знаков после запятой:
$\sigma(X) \approx 3,13$
Ответ: $\sigma(X) \approx 3,13$.