Номер 4.23, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.23. $x$ 2 4 5 7

$n_i$ 10 15 5 20

По данному дискретному вариационному ряду найдем основные статистические характеристики выборки.

Исходные данные:

Варианты ($x_i$): 2, 4, 5, 7

Частоты ($n_i$): 10, 15, 5, 20

а) Объем выборки

Объем выборки $n$ — это сумма всех частот. Он показывает общее количество наблюдений в выборке.

$n = \sum n_i = 10 + 15 + 5 + 20 = 50$

Ответ: Объем выборки равен 50.

б) Размах выборки

Размах выборки $R$ — это разность между максимальным и минимальным значениями вариант. Он показывает меру разброса данных.

$x_{max} = 7$

$x_{min} = 2$

$R = x_{max} - x_{min} = 7 - 2 = 5$

Ответ: Размах выборки равен 5.

в) Мода выборки

Мода ($Mo$) — это варианта, которая встречается в выборке чаще всего, то есть имеет наибольшую частоту. В данном ряду наибольшую частоту $n=20$ имеет варианта $x=7$.

Ответ: Мода выборки $Mo = 7$.

г) Медиана выборки

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию вариационный ряд на две равные по численности части. Так как объем выборки $n=50$ — четное число, медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений, стоящих на местах с номерами $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2} + 1$.

Номера центральных элементов: $\frac{50}{2} = 25$ и $\frac{50}{2} + 1 = 26$.

Для нахождения этих элементов определим накопленные частоты:

• Значение 2 (частота 10) занимает места с 1-го по 10-е.
• Значение 4 (частота 15) занимает места с 11-го по 25-е (накопленная частота $10+15=25$).
• Значение 5 (частота 5) занимает места с 26-го по 30-е (накопленная частота $25+5=30$).
• Значение 7 (частота 20) занимает места с 31-го по 50-е (накопленная частота $30+20=50$).

Таким образом, на 25-м месте стоит значение 4 ($x_{25}=4$), а на 26-м месте — значение 5 ($x_{26}=5$).

Найдем медиану:

$Me = \frac{x_{25} + x_{26}}{2} = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$

Ответ: Медиана выборки $Me = 4.5$.

д) Выборочное среднее

Выборочное среднее (среднее арифметическое) $\bar{x}$ вычисляется по формуле для взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$

Вычислим сумму произведений вариант на их частоты:

$\sum x_i n_i = (2 \cdot 10) + (4 \cdot 15) + (5 \cdot 5) + (7 \cdot 20) = 20 + 60 + 25 + 140 = 245$

Теперь найдем выборочное среднее:

$\bar{x} = \frac{245}{50} = 4.9$

Ответ: Выборочное среднее $\bar{x} = 4.9$.

е) Выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Выборочная дисперсия $D_B$ — это мера разброса данных относительно выборочного среднего. Она вычисляется по формуле:

$D_B = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n}$ или $D_B = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\overline{x^2} = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n}$.

Воспользуемся второй формулой. Сначала найдем $\sum x_i^2 n_i$:

$\sum x_i^2 n_i = (2^2 \cdot 10) + (4^2 \cdot 15) + (5^2 \cdot 5) + (7^2 \cdot 20)$

$\sum x_i^2 n_i = (4 \cdot 10) + (16 \cdot 15) + (25 \cdot 5) + (49 \cdot 20) = 40 + 240 + 125 + 980 = 1385$

Теперь найдем средний квадрат $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{1385}{50} = 27.7$

Вычислим дисперсию:

$D_B = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 27.7 - (4.9)^2 = 27.7 - 24.01 = 3.69$

Выборочное среднее квадратическое отклонение $\sigma_B$ — это квадратный корень из выборочной дисперсии.

$\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{3.69} \approx 1.921$

Ответ: Выборочная дисперсия $D_B = 3.69$, выборочное среднее квадратическое отклонение $\sigma_B \approx 1.921$.