Номер 4.22, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.22.

Дана таблица, представляющая дискретный вариационный ряд:

Здесь $x_i$ — это значения (варианты), которые принимает случайная величина, а $n_i$ — это соответствующие им частоты (сколько раз каждое значение встречается в выборке). Поскольку конкретный вопрос не задан, выполним стандартный статистический анализ данных, найдя основные числовые характеристики этой выборки.

1. Определение объема выборки

Объем выборки $n$ — это сумма всех частот. Он показывает общее количество наблюдений в исследовании.

$n = \sum_{i=1}^{4} n_i = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$

Ответ: Объем выборки $n = 10$.

2. Нахождение моды

Мода ($Mo$) — это значение признака (варианта), имеющее наибольшую частоту в выборке. В данном ряду наибольшая частота равна 4, и она соответствует варианте $x = 4$.

Ответ: Мода $Mo = 4$.

3. Нахождение медианы

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию вариационный ряд на две равные по числу членов части. Так как объем выборки $n=10$ является четным числом, медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений, стоящих на позициях $n/2$ и $n/2 + 1$.

Для нахождения этих значений представим всю выборку в виде упорядоченного ряда: 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7.

Центральные элементы находятся на 5-й ($10/2=5$) и 6-й ($10/2+1=6$) позициях. В нашем ряду на этих местах стоят значения 5 и 5.

$Me = \frac{5 + 5}{2} = 5$

Ответ: Медиана $Me = 5$.

4. Вычисление выборочного среднего

Выборочное среднее ($\bar{x}$) является средней арифметической всех значений выборки и вычисляется по формуле для сгруппированных данных:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_i n_i}{n}$

Найдем сумму произведений вариант на их частоты:

$\sum x_i n_i = (4 \cdot 4) + (5 \cdot 3) + (6 \cdot 2) + (7 \cdot 1) = 16 + 15 + 12 + 7 = 50$

Теперь вычислим среднее значение:

$\bar{x} = \frac{50}{10} = 5$

Ответ: Выборочное среднее $\bar{x} = 5$.

5. Вычисление выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения

Выборочная дисперсия ($D_B$) — это мера разброса значений в выборке относительно выборочного среднего. Она вычисляется как среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего. Удобная формула для расчета:

$D_B = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\overline{x^2} = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_i^2 n_i}{n}$.

Сначала найдем $\sum x_i^2 n_i$:

$\sum x_i^2 n_i = (4^2 \cdot 4) + (5^2 \cdot 3) + (6^2 \cdot 2) + (7^2 \cdot 1) = (16 \cdot 4) + (25 \cdot 3) + (36 \cdot 2) + (49 \cdot 1) = 64 + 75 + 72 + 49 = 260$

Теперь найдем среднее значение квадратов $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{260}{10} = 26$

Подставляем найденные значения в формулу для дисперсии:

$D_B = 26 - 5^2 = 26 - 25 = 1$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma_B$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, на сколько в среднем отклоняются значения выборки от их среднего.

$\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: Выборочная дисперсия $D_B = 1$, выборочное среднее квадратическое отклонение $\sigma_B = 1$.