Номер 7.36, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.36. Выполните действия:

1) $\frac{m^2 - 5m + 6}{m^2 + 7m + 12} \cdot \frac{m^2 + 3m}{m^2 - 4m + 4}$

2) $\frac{a^2 + 2a - 3}{a^2 + 3a - 10} : \frac{a^2 + 7a + 12}{a^2 - 9a + 14}$

1) $\frac{m^2 - 5m + 6}{m^2 + 7m + 12} \cdot \frac{m^2 + 3m}{m^2 - 4m + 4}$

Чтобы выполнить умножение дробей, разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби.

Разложим на множители квадратный трехчлен в числителе первой дроби: $m^2 - 5m + 6$.
Для этого найдем корни уравнения $m^2 - 5m + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни равны 2 и 3.
Следовательно, $m^2 - 5m + 6 = (m - 2)(m - 3)$.

Разложим на множители квадратный трехчлен в знаменателе первой дроби: $m^2 + 7m + 12$.
Найдем корни уравнения $m^2 + 7m + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а произведение равно 12. Корни равны -3 и -4.
Следовательно, $m^2 + 7m + 12 = (m + 3)(m + 4)$.

Разложим на множители числитель второй дроби: $m^2 + 3m$.
Вынесем общий множитель $m$ за скобки: $m(m + 3)$.

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $m^2 - 4m + 4$.
Это формула квадрата разности: $m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = (m - 2)^2$.

Теперь подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$\frac{(m - 2)(m - 3)}{(m + 3)(m + 4)} \cdot \frac{m(m + 3)}{(m - 2)^2}$

Сократим общие множители $(m - 2)$ и $(m + 3)$:
$\frac{\cancel{(m - 2)}(m - 3)}{\cancel{(m + 3)}(m + 4)} \cdot \frac{m\cancel{(m + 3)}}{(m - 2)^{\cancel{2}}} = \frac{m - 3}{m + 4} \cdot \frac{m}{m - 2} = \frac{m(m - 3)}{(m + 4)(m - 2)}$

Ответ: $\frac{m(m - 3)}{(m + 4)(m - 2)}$

2) $\frac{a^2 + 2a - 3}{a^2 + 3a - 10} : \frac{a^2 + 7a + 12}{a^2 - 9a + 14}$

Чтобы выполнить деление дробей, заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):
$\frac{a^2 + 2a - 3}{a^2 + 3a - 10} \cdot \frac{a^2 - 9a + 14}{a^2 + 7a + 12}$

Теперь разложим на множители числители и знаменатели.

Разложим $a^2 + 2a - 3$. Корни уравнения $a^2 + 2a - 3 = 0$ по теореме Виета: $a_1 + a_2 = -2$, $a_1 \cdot a_2 = -3$. Корни равны 1 и -3.
Следовательно, $a^2 + 2a - 3 = (a - 1)(a + 3)$.

Разложим $a^2 + 3a - 10$. Корни уравнения $a^2 + 3a - 10 = 0$ по теореме Виета: $a_1 + a_2 = -3$, $a_1 \cdot a_2 = -10$. Корни равны 2 и -5.
Следовательно, $a^2 + 3a - 10 = (a - 2)(a + 5)$.

Разложим $a^2 - 9a + 14$. Корни уравнения $a^2 - 9a + 14 = 0$ по теореме Виета: $a_1 + a_2 = 9$, $a_1 \cdot a_2 = 14$. Корни равны 2 и 7.
Следовательно, $a^2 - 9a + 14 = (a - 2)(a - 7)$.

Разложим $a^2 + 7a + 12$. Корни уравнения $a^2 + 7a + 12 = 0$ по теореме Виета: $a_1 + a_2 = -7$, $a_1 \cdot a_2 = 12$. Корни равны -3 и -4.
Следовательно, $a^2 + 7a + 12 = (a + 3)(a + 4)$.

Подставим разложенные многочлены в выражение:
$\frac{(a - 1)(a + 3)}{(a - 2)(a + 5)} \cdot \frac{(a - 2)(a - 7)}{(a + 3)(a + 4)}$

Сократим общие множители $(a + 3)$ и $(a - 2)$:
$\frac{(a - 1)\cancel{(a + 3)}}{\cancel{(a - 2)}(a + 5)} \cdot \frac{\cancel{(a - 2)}(a - 7)}{\cancel{(a + 3)}(a + 4)} = \frac{(a - 1)(a - 7)}{(a + 5)(a + 4)}$

Ответ: $\frac{(a - 1)(a - 7)}{(a + 5)(a + 4)}$