Номер 7.32, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.32. Какие остатки могут давать точные квадраты при делении на 3; на 4?

на 3

Для того чтобы найти возможные остатки, рассмотрим, какие остатки при делении на 3 может иметь любое целое число $n$. Таких остатков три: 0, 1 и 2. Возведем в квадрат число с каждым из этих остатков.

1. Если число $n$ делится на 3, то его можно представить в виде $n = 3k$, где $k$ – целое число. Тогда его квадрат $n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$. Такое число делится на 3 без остатка. Остаток равен 0.

2. Если число $n$ при делении на 3 дает остаток 1, то $n = 3k + 1$. Его квадрат $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. При делении на 3 такое число дает остаток 1.

3. Если число $n$ при делении на 3 дает остаток 2, то $n = 3k + 2$. Его квадрат $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. При делении на 3 такое число также дает остаток 1.

Таким образом, точный квадрат при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1.
Ответ: 0 или 1.

на 4

Для нахождения остатков от деления точного квадрата на 4 рассмотрим два случая: когда исходное число $n$ является четным и когда оно является нечетным.

1. Если число $n$ четное, то оно имеет вид $n = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда его квадрат $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Это число делится на 4 без остатка. Остаток равен 0.

2. Если число $n$ нечетное, то оно имеет вид $n = 2k + 1$. Тогда его квадрат $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1$. При делении на 4 такое число дает остаток 1.

Следовательно, квадрат четного числа всегда дает остаток 0 при делении на 4, а квадрат нечетного числа всегда дает остаток 1. Других остатков быть не может.

Таким образом, точный квадрат при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1.
Ответ: 0 или 1.