Номер 7.27, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.27. Вычислите:

1) $\frac{5^4 + 5 \cdot 3^6}{5^3 + 5^2 \cdot 3^2}$;

2) $\frac{6^6 \cdot 2^3 - 3^6}{6^6 + 3^3 \cdot 6^3 + 3^6}$;

3) $\frac{(-27)^{-15} \cdot (-9)^{20}}{(-3)^{-7}}$.

1) Для решения данного примера преобразуем числитель и знаменатель дроби, вынося общие множители за скобки.
В числителе $5^4 + 5 \cdot 3^6$ вынесем за скобки общий множитель $5$:
$5^4 + 5 \cdot 3^6 = 5 \cdot 5^3 + 5 \cdot 3^6 = 5(5^3 + 3^6)$.
В знаменателе $5^3 + 5^2 \cdot 3^2$ вынесем за скобки общий множитель $5^2$:
$5^3 + 5^2 \cdot 3^2 = 5^2 \cdot 5 + 5^2 \cdot 3^2 = 5^2(5 + 3^2)$.
Теперь запишем дробь с преобразованными числителем и знаменателем:
$\frac{5^4 + 5 \cdot 3^6}{5^3 + 5^2 \cdot 3^2} = \frac{5(5^3 + 3^6)}{5^2(5 + 3^2)}$.
Сократим дробь на $5$:
$\frac{5^3 + 3^6}{5(5 + 3^2)}$.
Вычислим значения в скобках и подставим их в выражение:
$5^3 = 125$
$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$
$5 + 3^2 = 5 + 9 = 14$
$\frac{125 + 729}{5 \cdot 14} = \frac{854}{70}$.
Сократим полученную дробь. Заметим, что $854 = 14 \cdot 61$ и $70 = 14 \cdot 5$.
$\frac{854}{70} = \frac{14 \cdot 61}{14 \cdot 5} = \frac{61}{5}$.
Также можно представить ответ в виде десятичной дроби: $12.2$.
Ответ: $\frac{61}{5}$

2) Для упрощения выражения $\frac{6^6 \cdot 2^3 - 3^6}{6^6 + 3^3 \cdot 6^3 + 3^6}$ представим число 6 как произведение $2 \cdot 3$ и воспользуемся свойствами степеней.
Преобразуем числитель, вынеся общий множитель за скобки:
$6^6 \cdot 2^3 - 3^6 = (2 \cdot 3)^6 \cdot 2^3 - 3^6 = (2^6 \cdot 3^6) \cdot 2^3 - 3^6 = 2^9 \cdot 3^6 - 3^6 = 3^6(2^9 - 1)$.
Преобразуем знаменатель, вынеся общий множитель за скобки:
$6^6 + 3^3 \cdot 6^3 + 3^6 = (2 \cdot 3)^6 + 3^3 \cdot (2 \cdot 3)^3 + 3^6 = 2^6 \cdot 3^6 + 3^3 \cdot 2^3 \cdot 3^3 + 3^6 = 2^6 \cdot 3^6 + 2^3 \cdot 3^6 + 3^6 = 3^6(2^6 + 2^3 + 1)$.
Запишем дробь с преобразованными частями:
$\frac{3^6(2^9 - 1)}{3^6(2^6 + 2^3 + 1)} = \frac{2^9 - 1}{2^6 + 2^3 + 1}$.
Для числителя применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=2^3$ и $b=1$:
$2^9 - 1 = (2^3)^3 - 1^3 = (2^3 - 1)((2^3)^2 + 2^3 \cdot 1 + 1^2) = (8-1)(2^6 + 2^3 + 1) = 7(2^6 + 2^3 + 1)$.
Подставим это в нашу дробь:
$\frac{7(2^6 + 2^3 + 1)}{2^6 + 2^3 + 1}$.
Сократив дробь на $(2^6 + 2^3 + 1)$, получаем 7.
Ответ: 7

3) Для вычисления значения выражения $\frac{(-27)^{-15} \cdot (-9)^{20}}{(-3)^{-7}}$ представим все основания степеней через число 3, учитывая знаки.
$-27 = (-1) \cdot 3^3$
$-9 = (-1) \cdot 3^2$
$-3 = (-1) \cdot 3$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{((-1) \cdot 3^3)^{-15} \cdot ((-1) \cdot 3^2)^{20}}{((-1) \cdot 3)^{-7}} = \frac{(-1)^{-15} \cdot (3^3)^{-15} \cdot (-1)^{20} \cdot (3^2)^{20}}{(-1)^{-7} \cdot 3^{-7}} = \frac{(-1)^{-15} \cdot 3^{-45} \cdot (-1)^{20} \cdot 3^{40}}{(-1)^{-7} \cdot 3^{-7}}$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$\frac{(-1)^{-15} \cdot (-1)^{20}}{(-1)^{-7}} \cdot \frac{3^{-45} \cdot 3^{40}}{3^{-7}}$.
Разберемся со знаками (множителями с основанием -1). Степень отрицательного числа с нечетным показателем отрицательна, а с четным — положительна.
$(-1)^{-15} = -1$
$(-1)^{20} = 1$
$(-1)^{-7} = -1$
Первая дробь равна $\frac{-1 \cdot 1}{-1} = 1$.
Теперь вычислим вторую дробь с основанием 3, используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{-45} \cdot 3^{40}}{3^{-7}} = \frac{3^{-45+40}}{3^{-7}} = \frac{3^{-5}}{3^{-7}} = 3^{-5 - (-7)} = 3^{-5+7} = 3^2 = 9$.
Окончательный результат равен произведению двух частей: $1 \cdot 9 = 9$.
Ответ: 9