Номер 7.43, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.43. Дано произведение чисел $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 100$. Его кратко записывают в виде $100!$ и читают: «Сто факториал».

1) На сколько нулей оканчивается число, полученное в результате умножения данных чисел?

2) На какую наибольшую степень числа 2 делится число $100!$?

1) Количество нулей на конце числа определяется количеством множителей 10 в его разложении на простые множители. Так как $10 = 2 \times 5$, нам нужно найти, сколько пар множителей 2 и 5 содержится в произведении $100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 100$.

В разложении 100! на простые множители двоек будет значительно больше, чем пятерок (поскольку каждое второе число — четное, а кратное пяти — только каждое пятое). Следовательно, количество нулей на конце числа 100! будет равно показателю степени, с которым простое число 5 входит в его разложение.

Чтобы найти этот показатель, нужно посчитать, сколько чисел от 1 до 100 делятся на 5, сколько на $5^2 = 25$, сколько на $5^3 = 125$ и так далее, а затем сложить полученные результаты. Для этого можно воспользоваться формулой Лежандра:

$E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$.

Для $n=100$ и $p=5$ имеем:

$E_5(100!) = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{25} \rfloor + \lfloor \frac{100}{125} \rfloor + \dots$

$E_5(100!) = 20 + 4 + 0 + \dots = 24$

Таким образом, в разложении числа 100! на простые множители содержится 24 пятерки. Это означает, что число 100! оканчивается на 24 нуля.

Ответ: 24.

2) Этот вопрос сводится к нахождению показателя степени, с которым простое число 2 входит в разложение числа 100! на множители. Снова применим формулу Лежандра, но на этот раз для $p=2$ и $n=100$:

$E_2(100!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{100}{2^k} \rfloor$

Вычислим сумму, последовательно находя слагаемые:

$E_2(100!) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{4} \rfloor + \lfloor \frac{100}{8} \rfloor + \lfloor \frac{100}{16} \rfloor + \lfloor \frac{100}{32} \rfloor + \lfloor \frac{100}{64} \rfloor + \lfloor \frac{100}{128} \rfloor + \dots$

$E_2(100!) = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 + 0 + \dots = 97$

Следовательно, наибольшая степень числа 2, на которую делится число 100!, равна 97. Это значит, что 100! делится на $2^{97}$, но не делится на $2^{98}$.

Ответ: 97.