Номер 7.50, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.50. Какой цифрой оканчивается разность $43^{43}-17^{17}$?

Чтобы определить, какой цифрой оканчивается разность $43^{43} - 17^{17}$, необходимо найти последние цифры уменьшаемого ($43^{43}$) и вычитаемого ($17^{17}$), а затем найти последнюю цифру результата их вычитания.

Поиск последней цифры числа $43^{43}$

Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры его основания. Следовательно, последняя цифра $43^{43}$ такая же, как у $3^{43}$.

Выпишем последние цифры первых нескольких степеней числа 3:

$3^1$ оканчивается на 3
$3^2$ оканчивается на 9
$3^3$ оканчивается на 7
$3^4$ оканчивается на 1
$3^5$ оканчивается на 3

Как видно, последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы узнать последнюю цифру $3^{43}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 43 на длину цикла 4.

$43 \div 4 = 10$ с остатком 3. Это можно записать как $43 = 4 \cdot 10 + 3$.

Остаток 3 означает, что последняя цифра $3^{43}$ будет такой же, как у третьего члена в цикле, то есть 7.

Поиск последней цифры числа $17^{17}$

Аналогично, последняя цифра $17^{17}$ совпадает с последней цифрой $7^{17}$.

Выпишем последние цифры первых нескольких степеней числа 7:

$7^1$ оканчивается на 7
$7^2$ оканчивается на 9
$7^3$ оканчивается на 3
$7^4$ оканчивается на 1
$7^5$ оканчивается на 7

Здесь последние цифры также повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1). Найдем остаток от деления показателя 17 на 4.

$17 \div 4 = 4$ с остатком 1. Это можно записать как $17 = 4 \cdot 4 + 1$.

Остаток 1 означает, что последняя цифра $7^{17}$ будет такой же, как у первого члена в цикле, то есть 7.

Нахождение последней цифры разности

Мы выяснили, что число $43^{43}$ оканчивается на 7, и число $17^{17}$ также оканчивается на 7. Чтобы найти последнюю цифру их разности, нужно найти последнюю цифру результата вычитания $(\dots7) - (\dots7)$.

Так как $7 - 7 = 0$, последняя цифра разности $43^{43} - 17^{17}$ равна 0.

Ответ: 0