Номер 7.44, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.44. Докажите, что пятая степень натурального числа и само это число оканчиваются одинаковыми цифрами.

Чтобы доказать, что пятая степень натурального числа $n$ и само это число $n$ оканчиваются на одну и ту же цифру, необходимо показать, что их разность, $n^5 - n$, делится на 10. В терминах сравнений по модулю это записывается как $n^5 \equiv n \pmod{10}$.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 5, так как 2 и 5 являются взаимно простыми числами. Следовательно, задача сводится к доказательству двух утверждений:

1. $n^5 - n$ делится на 2.

2. $n^5 - n$ делится на 5.

Доказательство делимости на 2

Разложим выражение $n^5 - n$ на множители: $n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2+1)$.

Произведение $(n-1)n$ представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел. Одно из этих чисел обязательно является чётным, поэтому их произведение всегда делится на 2. Так как один из множителей в выражении $(n-1)n(n+1)(n^2+1)$ делится на 2, то и всё произведение делится на 2.

Доказательство делимости на 5

Здесь мы можем применить Малую теорему Ферма. Она утверждает, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$ выполняется сравнение: $a^p \equiv a \pmod{p}$.

В нашем случае $p=5$ (простое число) и $a=n$. Согласно теореме, получаем: $n^5 \equiv n \pmod{5}$.

Это сравнение по определению означает, что разность $n^5 - n$ делится на 5.

Заключение

Мы доказали, что выражение $n^5 - n$ делится и на 2, и на 5. Поскольку 2 и 5 взаимно просты, то $n^5 - n$ должно делиться на их произведение, то есть на $2 \cdot 5 = 10$.

Если разность двух чисел делится на 10, это означает, что они имеют одинаковый остаток при делении на 10, а последняя цифра числа и есть его остаток от деления на 10. Следовательно, $n^5$ и $n$ оканчиваются на одну и ту же цифру. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность $n^5 - n$ для любого натурального $n$ всегда делится на 10, из чего следует, что числа $n^5$ и $n$ имеют одинаковую последнюю цифру.