Номер 7.40, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.40. Представьте произведение в виде степени:

1) $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \dots \cdot 2^{31};$

2) $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot \dots \cdot 5^{33};$

3) $7^2 \cdot 7^4 \cdot 7^6 \cdot \dots \cdot 7^{2n}.$

1) Для того чтобы представить произведение $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{31}$ в виде степени, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном выражении основание равно 2. Первый множитель $2$ можно представить как $2^1$.
Таким образом, произведение можно записать в следующем виде:
$2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{31} = 2^{1+2+3+\ldots+31}$
Показатель степени является суммой членов арифметической прогрессии от 1 до 31. Для нахождения этой суммы можно использовать формулу суммы первых $n$ натуральных чисел: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.
В нашем случае $n=31$, поэтому сумма показателей равна:
$S_{31} = \frac{31(31+1)}{2} = \frac{31 \cdot 32}{2} = 31 \cdot 16 = 496$.
Следовательно, исходное произведение равно $2^{496}$.
Ответ: $2^{496}$

2) Данное произведение $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot \ldots \cdot 5^{33}$ решается аналогично предыдущему пункту. Основание степени равно 5, а первый множитель $5$ равен $5^1$.
Применяя свойство умножения степеней, получим:
$5^1 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot \ldots \cdot 5^{33} = 5^{1+2+3+\ldots+33}$
Показатель степени является суммой арифметической прогрессии от 1 до 33. Найдем эту сумму, используя ту же формулу $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ при $n=33$.
$S_{33} = \frac{33(33+1)}{2} = \frac{33 \cdot 34}{2} = 33 \cdot 17 = 561$.
Таким образом, искомое выражение равно $5^{561}$.
Ответ: $5^{561}$

3) Рассмотрим произведение $7^2 \cdot 7^4 \cdot 7^6 \cdot \ldots \cdot 7^{2n}$. Основание степени равно 7.
Используя свойство умножения степеней, складываем показатели:
$7^2 \cdot 7^4 \cdot 7^6 \cdot \ldots \cdot 7^{2n} = 7^{2+4+6+\ldots+2n}$
Показатель степени представляет собой сумму четных чисел от 2 до $2n$. Это сумма членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1=2$, разность $d=2$, а последний член равен $2n$. Количество членов в этой прогрессии равно $n$.
Найдем сумму этой прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2(1+n)}{2} \cdot n = (1+n)n = n(n+1)$.
Также можно вынести общий множитель 2 за скобки в сумме показателей:
$2+4+6+\ldots+2n = 2(1+2+3+\ldots+n) = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
Следовательно, произведение можно записать в виде степени $7^{n(n+1)}$.
Ответ: $7^{n(n+1)}$