Номер 6.94, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.94. 1) $(\frac{x}{x+1} + 1) \cdot \frac{1+x}{2x-1}$;

2) $\frac{5y^2}{1-y^2} : (1 - \frac{1}{1-y})$;

3) $(\frac{4a}{2-a} - a) : \frac{a+2}{a-2}$;

4) $\frac{x-2}{x-3} \cdot (x + \frac{x}{2-x})$.

1) Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем 1 к общему знаменателю $x+1$:

$\frac{x}{x+1}+1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x + x + 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное и выполним умножение:

$(\frac{2x+1}{x+1}) \cdot \frac{1+x}{2x-1} = \frac{2x+1}{x+1} \cdot \frac{x+1}{2x-1}$

Сократим одинаковые множители $(x+1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(2x+1) \cdot (x+1)}{(x+1) \cdot (2x-1)} = \frac{2x+1}{2x-1}$

Упрощение возможно при допустимых значениях переменной $x \ne -1$ и $x \ne \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{2x+1}{2x-1}$

2) Упростим выражение в скобках. Приведем 1 к общему знаменателю $1-y$:

$1 - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y-1}{1-y} = \frac{-y}{1-y}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. Также разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $1-y^2 = (1-y)(1+y)$:

$\frac{5y^2}{1-y^2} : \frac{-y}{1-y} = \frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} \cdot \frac{1-y}{-y}$

Сократим общие множители $(1-y)$ и $y$ в числителе и знаменателе:

$\frac{5y \cdot y \cdot (1-y)}{(1-y)(1+y) \cdot (-y)} = \frac{5y}{-(1+y)} = -\frac{5y}{1+y}$

Упрощение возможно при допустимых значениях переменной $y \ne \pm 1$ и $y \ne 0$.

Ответ: $-\frac{5y}{1+y}$

3) Сначала упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $2-a$:

$\frac{4a}{2-a}-a = \frac{4a}{2-a} - \frac{a(2-a)}{2-a} = \frac{4a - (2a-a^2)}{2-a} = \frac{4a-2a+a^2}{2-a} = \frac{2a+a^2}{2-a} = \frac{a(2+a)}{2-a}$

Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь. Также заметим, что $2-a = -(a-2)$:

$\frac{a(a+2)}{2-a} : \frac{a+2}{a-2} = \frac{a(a+2)}{-(a-2)} \cdot \frac{a-2}{a+2}$

Сократим общие множители $(a+2)$ и $(a-2)$:

$\frac{a(a+2)(a-2)}{-(a-2)(a+2)} = \frac{a}{-1} = -a$

Упрощение возможно при допустимых значениях переменной $a \ne 2$ и $a \ne -2$.

Ответ: $-a$

4) Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $2-x$:

$x + \frac{x}{2-x} = \frac{x(2-x)}{2-x} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x-x^2+x}{2-x} = \frac{3x-x^2}{2-x} = \frac{x(3-x)}{2-x}$

Теперь выполним умножение. Вынесем минус за скобки в числителе и знаменателе второй дроби: $3-x = -(x-3)$ и $2-x = -(x-2)$:

$\frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{x(3-x)}{2-x} = \frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{x \cdot (-(x-3))}{-(x-2)} = \frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{-x(x-3)}{-(x-2)}$

Два минуса дают плюс, поэтому:

$\frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{x(x-3)}{x-2}$

Сократим общие множители $(x-2)$ и $(x-3)$:

$\frac{(x-2) \cdot x \cdot (x-3)}{(x-3) \cdot (x-2)} = x$

Упрощение возможно при допустимых значениях переменной $x \ne 3$ и $x \ne 2$.

Ответ: $x$