Номер 6.81, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.81–6.84 упростите выражения.

6.81. 1) $\frac{3a^2 + 3ab + 3b^2}{4a + 4b} \cdot \frac{2a^2 - 2b^2}{9a^3 - 9b^3}$;

2) $\frac{5x^2 - 10xy + 5y^2}{2x^2 - 2xy + 2y^2} : \frac{8x - 8y}{10x^3 + 10y^3}$;

3) $\frac{a^2 - 5a + 6}{a^2 + 7a + 12} \cdot \frac{a^2 + 3a}{a^2 - 4a + 4}$;

4) $\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 3x - 10} : \frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9x + 14}$.

1)

Исходное выражение: $ \frac{3a^2 + 3ab + 3b^2}{4a + 4b} \cdot \frac{2a^2 - 2b^2}{9a^3 - 9b^3} $.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $3a^2 + 3ab + 3b^2 = 3(a^2 + ab + b^2)$.

Знаменатель первой дроби: $4a + 4b = 4(a + b)$.

Числитель второй дроби: $2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(a - b)(a + b)$ (используя формулу разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $9a^3 - 9b^3 = 9(a^3 - b^3) = 9(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ (используя формулу разности кубов).

Подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$ \frac{3(a^2 + ab + b^2)}{4(a + b)} \cdot \frac{2(a - b)(a + b)}{9(a - b)(a^2 + ab + b^2)} $.

Сократим общие множители: $(a^2 + ab + b^2)$, $(a + b)$ и $(a - b)$.

$ \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $.

Ответ: $ \frac{1}{6} $.

2)

Исходное выражение: $ \frac{5x^2 - 10xy + 5y^2}{2x^2 - 2xy + 2y^2} : \frac{8x - 8y}{10x^3 + 10y^3} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{5x^2 - 10xy + 5y^2}{2x^2 - 2xy + 2y^2} \cdot \frac{10x^3 + 10y^3}{8x - 8y} $.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $5x^2 - 10xy + 5y^2 = 5(x^2 - 2xy + y^2) = 5(x-y)^2$ (формула квадрата разности).

Знаменатель первой дроби: $2x^2 - 2xy + 2y^2 = 2(x^2 - xy + y^2)$.

Числитель второй дроби: $10x^3 + 10y^3 = 10(x^3 + y^3) = 10(x+y)(x^2 - xy + y^2)$ (формула суммы кубов).

Знаменатель второй дроби: $8x - 8y = 8(x-y)$.

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{5(x-y)^2}{2(x^2 - xy + y^2)} \cdot \frac{10(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{8(x-y)} $.

Сократим общие множители: $(x^2 - xy + y^2)$ и один множитель $(x-y)$.

$ \frac{5(x-y)}{2} \cdot \frac{10(x+y)}{8} = \frac{5(x-y) \cdot 10(x+y)}{2 \cdot 8} = \frac{50(x-y)(x+y)}{16} $.

Сократим числовой коэффициент и применим формулу разности квадратов:

$ \frac{25(x^2-y^2)}{8} $.

Ответ: $ \frac{25(x^2 - y^2)}{8} $.

3)

Исходное выражение: $ \frac{a^2 - 5a + 6}{a^2 + 7a + 12} \cdot \frac{a^2 + 3a}{a^2 - 4a + 4} $.

Разложим на множители квадратные трехчлены.

Числитель первой дроби: $a^2 - 5a + 6$. Корни уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$ равны $a_1=2, a_2=3$. Таким образом, $a^2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)$.

Знаменатель первой дроби: $a^2 + 7a + 12$. Корни уравнения $a^2 + 7a + 12 = 0$ равны $a_1=-3, a_2=-4$. Таким образом, $a^2 + 7a + 12 = (a+3)(a+4)$.

Числитель второй дроби: $a^2 + 3a = a(a+3)$.

Знаменатель второй дроби: $a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$ (формула квадрата разности).

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{(a-2)(a-3)}{(a+3)(a+4)} \cdot \frac{a(a+3)}{(a-2)^2} $.

Сократим общие множители: $(a+3)$ и один множитель $(a-2)$.

$ \frac{a-3}{a+4} \cdot \frac{a}{a-2} = \frac{a(a-3)}{(a+4)(a-2)} $.

Ответ: $ \frac{a(a-3)}{(a+4)(a-2)} $.

4)

Исходное выражение: $ \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 3x - 10} : \frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9x + 14} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 3x - 10} \cdot \frac{x^2 - 9x + 14}{x^2 + 7x + 12} $.

Разложим на множители квадратные трехчлены.

Числитель первой дроби: $x^2 + 2x - 3$. Корни: $x_1=1, x_2=-3$. Разложение: $(x-1)(x+3)$.

Знаменатель первой дроби: $x^2 + 3x - 10$. Корни: $x_1=2, x_2=-5$. Разложение: $(x-2)(x+5)$.

Числитель второй дроби: $x^2 - 9x + 14$. Корни: $x_1=2, x_2=7$. Разложение: $(x-2)(x-7)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 + 7x + 12$. Корни: $x_1=-3, x_2=-4$. Разложение: $(x+3)(x+4)$.

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{(x-1)(x+3)}{(x-2)(x+5)} \cdot \frac{(x-2)(x-7)}{(x+3)(x+4)} $.

Сократим общие множители: $(x+3)$ и $(x-2)$.

$ \frac{x-1}{x+5} \cdot \frac{x-7}{x+4} = \frac{(x-1)(x-7)}{(x+5)(x+4)} $.

Ответ: $ \frac{(x-1)(x-7)}{(x+5)(x+4)} $.