Номер 6.78, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.78. 1) $(a + \frac{a-b}{a+b} - b) : (\frac{2a+1}{a^2-b^2} + 1);$

2) $(x - \frac{x+y}{x-y} + y) : (1 - \frac{2y+1}{x^2-y^2});$

3) $\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2+1}{x^2} \cdot \frac{x^4}{x^4-1};$

4) $((\frac{1-a}{a} : \frac{a}{1+a}) : \frac{a^2}{1+a^2}) : \frac{a^4-1}{a^4}.$

1)

Решим по действиям. Сначала упростим выражения в каждой из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке: $a + \frac{a-b}{a+b} - b$. Сгруппируем $a$ и $-b$ и приведем к общему знаменателю $(a+b)$.

$ (a-b) + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a+b} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b) + (a-b)}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b} $

2. Упростим выражение во второй скобке: $\frac{2a+1}{a^2-b^2} + 1$. Приведем к общему знаменателю $(a^2-b^2)$.

$ \frac{2a+1}{a^2-b^2} + \frac{a^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+2a+1-b^2}{a^2-b^2} $

В числителе видим формулы сокращенного умножения: $a^2+2a+1 = (a+1)^2$. Тогда числитель принимает вид $(a+1)^2 - b^2$, что является разностью квадратов.

$ \frac{(a+1)^2 - b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+1-b)(a+1+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b+1)(a+b+1)}{(a-b)(a+b)} $

3. Теперь выполним деление полученных выражений. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$ \frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b} : \frac{(a-b+1)(a+b+1)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b+1)(a+b+1)} $

Сокращаем одинаковые множители $(a+b)$ и $(a+b+1)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{(a-b)\cancel{(a+b+1)}}{\cancel{a+b}} \cdot \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{(a-b+1)\cancel{(a+b+1)}} = \frac{(a-b)(a-b)}{a-b+1} = \frac{(a-b)^2}{a-b+1} $

Ответ: $\frac{(a-b)^2}{a-b+1}$

2)

Решим по действиям, аналогично предыдущему примеру.

1. Упростим выражение в первой скобке: $x - \frac{x+y}{x-y} + y$. Сгруппируем $x$ и $y$ и приведем к общему знаменателю $(x-y)$.

$ (x+y) - \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)(x-y)}{x-y} - \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)(x-y) - (x+y)}{x-y} = \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y} $

2. Упростим выражение во второй скобке: $1 - \frac{2y+1}{x^2-y^2}$. Приведем к общему знаменателю $(x^2-y^2)$.

$ \frac{x^2-y^2}{x^2-y^2} - \frac{2y+1}{x^2-y^2} = \frac{x^2-y^2-2y-1}{x^2-y^2} = \frac{x^2-(y^2+2y+1)}{x^2-y^2} $

Выражение в скобках в числителе является полным квадратом: $y^2+2y+1 = (y+1)^2$. Получаем разность квадратов:

$ \frac{x^2-(y+1)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x-(y+1))(x+(y+1))}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{(x-y)(x+y)} $

3. Выполним деление результатов:

$ \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y} : \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y-1)(x+y+1)} $

Сокращаем общие множители $(x-y)$ и $(x-y-1)$:

$ \frac{(x+y)\cancel{(x-y-1)}}{\cancel{x-y}} \cdot \frac{\cancel{(x-y)}(x+y)}{\cancel{(x-y-1)}(x+y+1)} = \frac{(x+y)(x+y)}{x+y+1} = \frac{(x+y)^2}{x+y+1} $

Ответ: $\frac{(x+y)^2}{x+y+1}$

3)

Для упрощения данного выражения перемножим последовательно дроби, используя формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$ \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2+1}{x^2} \cdot \frac{x^4}{x^4-1} $

1. Перемножим первые две дроби:

$ \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x+1}{x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2} $

2. Результат умножим на третью дробь:

$ \frac{x^2-1}{x^2} \cdot \frac{x^2+1}{x^2} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^4} = \frac{(x^2)^2-1^2}{x^4} = \frac{x^4-1}{x^4} $

3. Результат умножим на последнюю дробь:

$ \frac{x^4-1}{x^4} \cdot \frac{x^4}{x^4-1} $

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{x^4-1}}{\cancel{x^4}} \cdot \frac{\cancel{x^4}}{\cancel{x^4-1}} = 1 $

Ответ: $1$

4)

В данном выражении действия деления выполняются последовательно слева направо.

1. Выполним первое деление: $\frac{1-a}{a} : \frac{a}{1+a}$

$ \frac{1-a}{a} \cdot \frac{1+a}{a} = \frac{(1-a)(1+a)}{a^2} = \frac{1-a^2}{a^2} $

2. Результат разделим на следующую дробь: $(\frac{1-a^2}{a^2}) : \frac{a^2}{1+a^2}$

$ \frac{1-a^2}{a^2} \cdot \frac{1+a^2}{a^2} = \frac{(1-a^2)(1+a^2)}{a^4} = \frac{1-(a^2)^2}{a^4} = \frac{1-a^4}{a^4} $

3. И, наконец, разделим полученное выражение на последнюю дробь: $(\frac{1-a^4}{a^4}) : \frac{a^4-1}{a^4}$

$ \frac{1-a^4}{a^4} \cdot \frac{a^4}{a^4-1} $

Заметим, что числитель первой дроби и знаменатель второй связаны соотношением $1-a^4 = -(a^4-1)$. Подставим это в выражение:

$ \frac{-(a^4-1)}{a^4} \cdot \frac{a^4}{a^4-1} = \frac{-\cancel{(a^4-1)}}{\cancel{a^4}} \cdot \frac{\cancel{a^4}}{\cancel{a^4-1}} = -1 $

Ответ: $-1$