Номер 6.71, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.71. 1) $8x^2y^4 \cdot \left(-\frac{3x}{4y^3}\right)$;

2) $-\frac{18x^2y^2}{5ab} : \frac{6xy^3}{5a^2b^2}$;

3) $16a^2b^3 : \left(-\frac{20a^5b^4}{3x^2y}\right)$;

4) $-\frac{25x^4y^3}{14m^2} \cdot \left(-\frac{21mn}{10x^3y^2}\right)$;

5) $\frac{a^2-ab}{b} \cdot \frac{b^2}{a}$;

6) $\frac{ab+b^2}{9} \cdot \frac{3a}{b^2}$.

1) Для того чтобы умножить одночлен на дробь, представим одночлен в виде дроби со знаменателем 1 и выполним умножение дробей:
$8x^2y^4 \cdot \left(-\frac{3x}{4y^3}\right) = \frac{8x^2y^4}{1} \cdot \left(-\frac{3x}{4y^3}\right) = -\frac{8x^2y^4 \cdot 3x}{4y^3}$
Сократим числовые коэффициенты (8 и 4 на 4) и переменные (используя свойство степеней $a^m/a^n = a^{m-n}$):
$-\frac{8 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot x \cdot y^4}{4 \cdot y^3} = -2 \cdot 3 \cdot x^{2+1} \cdot y^{4-3} = -6x^3y^1 = -6x^3y$
Ответ: $-6x^3y$

2) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$-\frac{18x^2y^2}{5ab} \div \frac{6xy^3}{5a^2b^2} = -\frac{18x^2y^2}{5ab} \cdot \frac{5a^2b^2}{6xy^3} = -\frac{18x^2y^2 \cdot 5a^2b^2}{5ab \cdot 6xy^3}$
Сократим общие множители в числителе и знаменателе:
$-\frac{(18 \cdot 5) \cdot (x^2 \cdot a^2 \cdot y^2 \cdot b^2)}{(5 \cdot 6) \cdot (a \cdot x \cdot b \cdot y^3)} = -\frac{3 \cdot x^{2-1} \cdot a^{2-1} \cdot b^{2-1}}{y^{3-2}} = -\frac{3xab}{y}$
Ответ: $-\frac{3abx}{y}$

3) Для деления одночлена на дробь, представим одночлен в виде дроби и умножим на дробь, обратную делителю:
$16a^2b^3 \div \left(-\frac{20a^5b^4}{3x^2y}\right) = \frac{16a^2b^3}{1} \cdot \left(-\frac{3x^2y}{20a^5b^4}\right) = -\frac{16a^2b^3 \cdot 3x^2y}{20a^5b^4}$
Сократим числовые коэффициенты (16 и 20 на 4) и переменные:
$-\frac{16 \cdot 3 \cdot a^2b^3x^2y}{20 \cdot a^5b^4} = -\frac{4 \cdot 3 \cdot x^2y}{5 \cdot a^{5-2} \cdot b^{4-3}} = -\frac{12x^2y}{5a^3b}$
Ответ: $-\frac{12x^2y}{5a^3b}$

4) При умножении двух дробей перемножаем их числители и знаменатели. Произведение двух отрицательных выражений положительно.
$-\frac{25x^4y^3}{14m^2} \cdot \left(-\frac{21mn}{10x^3y^2}\right) = \frac{25x^4y^3 \cdot 21mn}{14m^2 \cdot 10x^3y^2}$
Сократим числовые коэффициенты (25 и 10 на 5; 21 и 14 на 7) и переменные:
$\frac{(5 \cdot 5)x^4y^3 \cdot (3 \cdot 7)mn}{(2 \cdot 7)m^2 \cdot (2 \cdot 5)x^3y^2} = \frac{5 \cdot 3 \cdot x^{4-3} \cdot y^{3-2} \cdot n}{2 \cdot 2 \cdot m^{2-1}} = \frac{15xyn}{4m}$
Ответ: $\frac{15xyn}{4m}$

5) Сначала вынесем общий множитель в числителе первой дроби:
$\frac{a^2-ab}{b} \cdot \frac{b^2}{a} = \frac{a(a-b)}{b} \cdot \frac{b^2}{a}$
Теперь выполним умножение и сократим общие множители $a$ и $b$:
$\frac{a(a-b)b^2}{ba} = \frac{(a-b)b}{1} = b(a-b)$
Ответ: $b(a-b)$

6) Вынесем общий множитель $b$ в числителе первой дроби:
$\frac{ab+b^2}{9} \cdot \frac{3a}{b^2} = \frac{b(a+b)}{9} \cdot \frac{3a}{b^2}$
Выполним умножение дробей и сократим:
$\frac{b(a+b) \cdot 3a}{9b^2} = \frac{3ab(a+b)}{9b^2}$
Сократим числовые коэффициенты (3 и 9 на 3) и переменную $b$:
$\frac{a(a+b)}{3b}$
Ответ: $\frac{a(a+b)}{3b}$