Номер 6.66, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.66. 1) $\frac{9a}{16b} \cdot \frac{2}{3}$;

2) $3m \cdot \frac{n}{12m}$;

3) $\frac{8c}{21d^2} : \frac{6c^2}{7d}$;

4) $5a : \frac{15a}{b}$;

5) $\frac{x^4}{y^3} \cdot \frac{y^2}{x^3}$;

6) $\frac{3mn}{4ab} \cdot \frac{10a^2b^2}{21m^2n}$;

7) $\frac{12ab}{25c} : 8a^2$;

8) $\frac{5c}{28a^2} \cdot 21ac$.

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $\frac{9a}{16b} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9a \cdot 2}{16b \cdot 3}$. Теперь сократим числитель и знаменатель. 9 и 3 можно сократить на 3, а 2 и 16 можно сократить на 2. $\frac{\cancel{9}^3 a \cdot \cancel{2}^1}{\cancel{16}^8 b \cdot \cancel{3}^1} = \frac{3a \cdot 1}{8b \cdot 1} = \frac{3a}{8b}$.
Ответ: $\frac{3a}{8b}$

2) Представим выражение $3m$ в виде дроби со знаменателем 1: $3m = \frac{3m}{1}$. $3m \cdot \frac{n}{12m} = \frac{3m}{1} \cdot \frac{n}{12m} = \frac{3m \cdot n}{1 \cdot 12m} = \frac{3mn}{12m}$. Сократим дробь. Переменную $m$ в числителе и знаменателе можно сократить. Коэффициенты 3 и 12 сокращаются на 3. $\frac{\cancel{3}^1 \cancel{m} n}{\cancel{12}^4 \cancel{m}} = \frac{n}{4}$.
Ответ: $\frac{n}{4}$

3) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь. $\frac{8c}{21d^2} : \frac{6c^2}{7d} = \frac{8c}{21d^2} \cdot \frac{7d}{6c^2} = \frac{8c \cdot 7d}{21d^2 \cdot 6c^2}$. Теперь сократим дробь. 8 и 6 сокращаем на 2. 7 и 21 сокращаем на 7. $c$ и $c^2$ сокращаем на $c$. $d$ и $d^2$ сокращаем на $d$. $\frac{\cancel{8}^4 \cancel{c} \cdot \cancel{7}^1 \cancel{d}}{\cancel{21}^3 \cancel{d^2}^d \cdot \cancel{6}^3 \cancel{c^2}^c} = \frac{4 \cdot 1}{3d \cdot 3c} = \frac{4}{9cd}$.
Ответ: $\frac{4}{9cd}$

4) Представим $5a$ как дробь $\frac{5a}{1}$ и заменим деление на умножение на обратную дробь. $5a : \frac{15a}{b} = \frac{5a}{1} \cdot \frac{b}{15a} = \frac{5a \cdot b}{1 \cdot 15a} = \frac{5ab}{15a}$. Сократим $a$ в числителе и знаменателе. Коэффициенты 5 и 15 сократим на 5. $\frac{\cancel{5}^1 \cancel{a} b}{\cancel{15}^3 \cancel{a}} = \frac{b}{3}$.
Ответ: $\frac{b}{3}$

5) Перемножим числители и знаменатели дробей. $\frac{x^4}{y^3} \cdot \frac{y^2}{x^3} = \frac{x^4 \cdot y^2}{y^3 \cdot x^3} = \frac{x^4 y^2}{x^3 y^3}$. Сократим дробь, используя свойства степеней: $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$. $\frac{x^4}{x^3} = x^{4-3} = x^1 = x$. $\frac{y^2}{y^3} = y^{2-3} = y^{-1} = \frac{1}{y}$. В результате получаем: $\frac{x}{y}$.
Ответ: $\frac{x}{y}$

6) Перемножим числители и знаменатели дробей. $\frac{3mn}{4ab} \cdot \frac{10a^2b^2}{21m^2n} = \frac{3mn \cdot 10a^2b^2}{4ab \cdot 21m^2n}$. Сократим числовые коэффициенты: 3 и 21 на 3; 10 и 4 на 2. $\frac{\cancel{3}^1 mn \cdot \cancel{10}^5 a^2b^2}{\cancel{4}^2 ab \cdot \cancel{21}^7 m^2n} = \frac{5mna^2b^2}{14abm^2n}$. Теперь сократим переменные: $\frac{m}{m^2} = \frac{1}{m}$, $\frac{n}{n} = 1$, $\frac{a^2}{a} = a$, $\frac{b^2}{b} = b$. $\frac{5 \cancel{m} \cancel{n} \cancel{a^2}^a \cancel{b^2}^b}{14 \cancel{a} \cancel{b} \cancel{m^2}^m \cancel{n}} = \frac{5ab}{14m}$.
Ответ: $\frac{5ab}{14m}$

7) Представим $8a^2$ как дробь $\frac{8a^2}{1}$ и заменим деление умножением на обратную дробь. $\frac{12ab}{25c} : 8a^2 = \frac{12ab}{25c} \cdot \frac{1}{8a^2} = \frac{12ab}{25c \cdot 8a^2}$. Сократим числовые коэффициенты 12 и 8 на 4. $\frac{\cancel{12}^3 ab}{25c \cdot \cancel{8}^2 a^2} = \frac{3ab}{25c \cdot 2a^2} = \frac{3ab}{50a^2c}$. Сократим переменные: $\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$. $\frac{3\cancel{a}b}{50\cancel{a^2}^a c} = \frac{3b}{50ac}$.
Ответ: $\frac{3b}{50ac}$

8) Представим выражение $21ac$ в виде дроби со знаменателем 1: $21ac = \frac{21ac}{1}$. $\frac{5c}{28a^2} \cdot 21ac = \frac{5c}{28a^2} \cdot \frac{21ac}{1} = \frac{5c \cdot 21ac}{28a^2}$. Сократим числовые коэффициенты 21 и 28 на 7. $\frac{5c \cdot \cancel{21}^3 ac}{\cancel{28}^4 a^2} = \frac{5c \cdot 3ac}{4a^2} = \frac{15ac^2}{4a^2}$. Сократим переменные: $\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$. $\frac{15\cancel{a}c^2}{4\cancel{a^2}^a} = \frac{15c^2}{4a}$.
Ответ: $\frac{15c^2}{4a}$