Номер 6.60, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.60. Учитывая, что $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b$ и $\frac{a^2-2b}{a(1-2b)} = \frac{b^2-2a}{b(1-2a)}$, докажите справедливость равенства $a + b + 1,5 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.

Для доказательства справедливости равенства начнем с преобразования исходного тождества, данного в условии.

Исходное равенство: $ \frac{a^2 - 2b}{a(1 - 2b)} = \frac{b^2 - 2a}{b(1 - 2a)} $

Условия, при которых равенство рассматривается: $ a \neq 0 $, $ b \neq 0 $, $ a \neq b $. Также из вида знаменателей следует, что $ 1 - 2b \neq 0 $ и $ 1 - 2a \neq 0 $.

Применим правило пропорции (умножим уравнение крест-накрест):

$ b(1 - 2a)(a^2 - 2b) = a(1 - 2b)(b^2 - 2a) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ (b - 2ab)(a^2 - 2b) = (a - 2ab)(b^2 - 2a) $

$ a^2b - 2b^2 - 2a^3b + 4ab^2 = ab^2 - 2a^2 - 2ab^3 + 4a^2b $

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их для дальнейшего упрощения:

$ 2a^2 - 2b^2 + 4ab^2 - ab^2 + a^2b - 4a^2b + 2ab^3 - 2a^3b = 0 $

$ 2(a^2 - b^2) + 3ab^2 - 3a^2b - 2a^3b + 2ab^3 = 0 $

Вынесем общие множители:

$ 2(a^2 - b^2) - 3ab(a - b) - 2ab(a^2 - b^2) = 0 $

Разложим $ (a^2 - b^2) $ как $ (a - b)(a + b) $:

$ 2(a - b)(a + b) - 3ab(a - b) - 2ab(a - b)(a + b) = 0 $

Вынесем общий множитель $ (a - b) $ за скобки:

$ (a - b)[2(a + b) - 3ab - 2ab(a + b)] = 0 $

Поскольку по условию $ a \neq b $, то множитель $ (a - b) $ не равен нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $ (a - b) $:

$ 2(a + b) - 3ab - 2ab(a + b) = 0 $

Перегруппируем слагаемые:

$ 2(a + b) - 2ab(a + b) = 3ab $

Разделим обе части полученного равенства на $ 2ab $. Это действие является корректным, так как по условию $ a \neq 0 $ и $ b \neq 0 $.

$ \frac{2(a + b)}{2ab} - \frac{2ab(a + b)}{2ab} = \frac{3ab}{2ab} $

После сокращения получим:

$ \frac{a + b}{ab} - (a + b) = \frac{3}{2} $

Представим дробь $ \frac{a + b}{ab} $ в виде суммы двух дробей, а $ \frac{3}{2} $ в виде десятичной дроби 1,5:

$ \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} - (a + b) = 1,5 $

$ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} - (a + b) = 1,5 $

Наконец, перенесем $ (a + b) $ в правую часть равенства:

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = a + b + 1,5 $

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Ответ: Равенство $ a + b + 1,5 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ доказано.