Номер 6.62, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.62. Постройте график функции, заданной формулой:

1) $y = 2x + 1$;

2) $y = \frac{1}{2}x^2$;

3) $y = -\frac{1}{3}x^3$.

1) $y = 2x + 1$;

Данная функция является линейной, ее общий вид $y = kx + b$. Графиком такой функции является прямая линия.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек. Составим таблицу значений:

1. Найдем точку пересечения с осью OY. Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
Получили точку A с координатами $(0; 1)$.

2. Найдем еще одну точку. Возьмем, например, $x = 2$:
$y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$
Получили точку B с координатами $(2; 5)$.

Теперь отметим точки A(0; 1) и B(2; 5) на координатной плоскости и проведем через них прямую линию. Это и будет график функции $y = 2x + 1$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(2; 5)$.

2) $y = \frac{1}{2}x^2$;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Общий вид функции $y = ax^2$. В нашем случае $a = \frac{1}{2}$.

Основные свойства графика:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.
• Поскольку коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику. Составим таблицу значений для $x \ge 0$, а затем отразим их симметрично относительно оси OY.

При $x = 0, y = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0; 0)$.
При $x = 1, y = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 0.5$. Точка $(1; 0.5)$.
При $x = 2, y = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$. Точка $(2; 2)$.
При $x = 4, y = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$. Точка $(4; 8)$.

В силу симметрии, также получаем точки $(-1; 0.5)$, $(-2; 2)$, $(-4; 8)$.

Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола проходит, например, через точки $(2; 2)$ и $(-2; 2)$.

3) $y = -\frac{1}{3}x^3$.

Данная функция является кубической, ее график — кубическая парабола. График проходит через начало координат, точку $(0; 0)$.

Основные свойства графика:

• Функция является нечетной, так как $y(-x) = -\frac{1}{3}(-x)^3 = -(-\frac{1}{3}x^3) = -y(x)$. Это означает, что график симметричен относительно начала координат.
• Так как коэффициент при $x^3$ отрицателен ($-\frac{1}{3} < 0$), график функции расположен во второй (для $x < 0$) и четвертой (для $x > 0$) координатных четвертях.

Для построения найдем координаты нескольких точек. Составим таблицу значений, используя свойство симметрии.

При $x = 0, y = -\frac{1}{3} \cdot 0^3 = 0$. Точка $(0; 0)$.
При $x = 1, y = -\frac{1}{3} \cdot 1^3 = -\frac{1}{3}$. Точка $(1; -1/3)$. Соответственно, есть симметричная точка $(-1; 1/3)$.
При $x = 2, y = -\frac{1}{3} \cdot 2^3 = -\frac{8}{3} \approx -2.67$. Точка $(2; -8/3)$. Соответственно, есть симметричная точка $(-2; 8/3)$.
При $x = 3, y = -\frac{1}{3} \cdot 3^3 = -\frac{27}{3} = -9$. Точка $(3; -9)$. Соответственно, есть симметричная точка $(-3; 9)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой, характерной для кубической параболы.

Ответ: Графиком функции является кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и расположенная во II и IV координатных четвертях. График проходит через точки $(0; 0)$, $(3; -9)$ и $(-3; 9)$.