Номер 6.56, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.56*. 1) $\frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-a)(b-c)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)};$

2) $\frac{x^2}{(x-y)(x-u)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-u)} + \frac{u^2}{(u-x)(u-y)}.$

1)

Рассмотрим выражение $ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-a)(b-c)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} $.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, преобразуем знаменатели так, чтобы множители в скобках были упорядочены, например, как $ (a-b) $, $ (b-c) $, $ (a-c) $.

Преобразуем знаменатель второй дроби: $ b(b-a)(b-c) = b \cdot (-(a-b)) \cdot (b-c) = -b(a-b)(b-c) $.

Преобразуем знаменатель третьей дроби: $ c(c-a)(c-b) = c \cdot (-(a-c)) \cdot (-(b-c)) = c(a-c)(b-c) $.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(a-b)(b-c)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $.

Общим знаменателем является $ abc(a-b)(b-c)(a-c) $. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$ \frac{1 \cdot bc(b-c)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{1 \cdot ac(a-c)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{1 \cdot ab(a-b)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} $.

Сложим числители:

$ \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2 $.

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $ a $:

$ a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) $.

Разложим разность квадратов $ (b^2-c^2) = (b-c)(b+c) $:

$ a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c) $.

Вынесем общий множитель $ (b-c) $ за скобки:

$ (b-c)[a^2 - a(b+c) + bc] = (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) $.

Сгруппируем слагаемые во второй скобке и вынесем общие множители:

$ (b-c)[a(a-b) - c(a-b)] = (b-c)(a-b)(a-c) $.

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} $.

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получим:

$ \frac{1}{abc} $.

Ответ: $ \frac{1}{abc} $.

2)

Рассмотрим выражение $ \frac{x^2}{(x-y)(x-u)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-u)} + \frac{u^2}{(u-x)(u-y)} $.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, преобразуем знаменатели второй и третьей дробей.

Для второй дроби: $ (y-x)(y-u) = -(x-y)(y-u) $.

Для третьей дроби: $ (u-x)(u-y) = (-(x-u))(-(y-u)) = (x-u)(y-u) $.

Перепишем исходное выражение с новыми знаменателями:

$ \frac{x^2}{(x-y)(x-u)} - \frac{y^2}{(x-y)(y-u)} + \frac{u^2}{(x-u)(y-u)} $.

Общим знаменателем является $ (x-y)(x-u)(y-u) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{x^2(y-u)}{(x-y)(x-u)(y-u)} - \frac{y^2(x-u)}{(x-y)(x-u)(y-u)} + \frac{u^2(x-y)}{(x-y)(x-u)(y-u)} $.

Запишем все под одной дробной чертой:

$ \frac{x^2(y-u) - y^2(x-u) + u^2(x-y)}{(x-y)(x-u)(y-u)} $.

Упростим числитель. Раскроем скобки:

$ x^2y - x^2u - y^2x + y^2u + u^2x - u^2y $.

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $ x $:

$ x^2(y-u) - x(y^2-u^2) + (y^2u - u^2y) $.

Разложим $ (y^2-u^2) $ и вынесем $ yu $ в последней группе:

$ x^2(y-u) - x(y-u)(y+u) + yu(y-u) $.

Вынесем общий множитель $ (y-u) $ за скобки:

$ (y-u)[x^2 - x(y+u) + yu] = (y-u)(x^2 - xy - xu + yu) $.

Сгруппируем слагаемые во второй скобке и вынесем общие множители:

$ (y-u)[x(x-y) - u(x-y)] = (y-u)(x-y)(x-u) $.

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:

$ \frac{(x-y)(y-u)(x-u)}{(x-y)(x-u)(y-u)} $.

Числитель и знаменатель равны, следовательно, их отношение равно 1.

Ответ: 1.