Номер 6.61, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.61. Найдите отношение суммы кубов трех последовательных натуральных чисел, минус утроенное произведение этих чисел к среднему арифметическому данных чисел.

Обозначим три последовательных натуральных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число, большее или равное 2 (чтобы все числа были натуральными).

Найдем числитель искомого отношения: "сумма кубов трех последовательных натуральных чисел, минус утроенное произведение этих чисел".
Сначала вычислим сумму кубов этих чисел:
$S_{кубов} = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$
Используем формулы сокращенного умножения для куба разности и куба суммы:
$(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$
$(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$
Сложим три куба:
$S_{кубов} = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = 3n^3 + 6n$.

Теперь вычислим утроенное произведение этих чисел. Произведение равно:
$P = (n-1) \cdot n \cdot (n+1) = n(n^2 - 1) = n^3 - n$.
Утроенное произведение равно:
$3P = 3(n^3 - n) = 3n^3 - 3n$.

Теперь найдем значение всего выражения в числителе, вычитая утроенное произведение из суммы кубов:
$Числитель = S_{кубов} - 3P = (3n^3 + 6n) - (3n^3 - 3n) = 3n^3 + 6n - 3n^3 + 3n = 9n$.

Далее найдем знаменатель искомого отношения: "среднее арифметическое данных чисел".
Сумма чисел: $(n-1) + n + (n+1) = 3n$.
Количество чисел: 3.
Среднее арифметическое равно:
$Знаменатель = \frac{(n-1) + n + (n+1)}{3} = \frac{3n}{3} = n$.

Наконец, найдем искомое отношение, разделив числитель на знаменатель:
$Отношение = \frac{Числитель}{Знаменатель} = \frac{9n}{n} = 9$.

Результат не зависит от выбора конкретных последовательных натуральных чисел.

Ответ: 9