Номер 6.55, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.55*. 1) $\frac{1}{(a-b)(b-c)} - \frac{1}{(b-c)(a-c)} - \frac{1}{(c-a)(b-a)}$;

2) $\frac{x-y}{(z-x)(z-y)} - \frac{y-z}{(x-y)(x-z)} + \frac{z-x}{(y-x)(y-z)}$

1)

Исходное выражение: $ \frac{1}{(a-b)(b-c)} - \frac{1}{(b-c)(a-c)} - \frac{1}{(c-a)(b-a)} $

Сначала приведем знаменатели к единому виду. Для этого воспользуемся свойствами $ c-a = -(a-c) $ и $ b-a = -(a-b) $. Знаменатель третьей дроби можно преобразовать следующим образом: $ (c-a)(b-a) = (-(a-c))(-(a-b)) = (a-b)(a-c) $.

Подставив преобразованный знаменатель в исходное выражение, получим:

$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} - \frac{1}{(b-c)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(a-c)} $

Общим знаменателем для этих дробей является выражение $ (a-b)(b-c)(a-c) $. Приведем все дроби к этому знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:

• Для первой дроби дополнительный множитель $ (a-c) $.

• Для второй дроби дополнительный множитель $ (a-b) $.

• Для третьей дроби дополнительный множитель $ (b-c) $.

Выполнив умножение, получим:

$ \frac{a-c}{(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(a-c)} $

Теперь объединим дроби, выполнив вычитание числителей:

$ \frac{(a-c) - (a-b) - (b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} $

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$ \frac{a - c - a + b - b + c}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{(a-a) + (b-b) + (-c+c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(a-c)} $

Поскольку числитель равен нулю, то и вся дробь равна нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $ a \neq b, b \neq c, a \neq c $).

Ответ: 0

2)

Исходное выражение: $ \frac{x-y}{(z-x)(z-y)} - \frac{y-z}{(x-y)(x-z)} + \frac{z-x}{(y-x)(y-z)} $

Для приведения дробей к общему знаменателю преобразуем множители в знаменателях, чтобы они имели одинаковый вид. В качестве "стандартных" выберем множители $ (x-y) $, $ (y-z) $ и $ (x-z) $. Для этого воспользуемся тождествами: $ z-x = -(x-z) $, $ z-y = -(y-z) $ и $ y-x = -(x-y) $.

Преобразуем каждую дробь:

• Первая дробь: $ \frac{x-y}{(z-x)(z-y)} = \frac{x-y}{(-(x-z))(-(y-z))} = \frac{x-y}{(x-z)(y-z)} $

• Вторая дробь не меняется: $ -\frac{y-z}{(x-y)(x-z)} $

• Третья дробь: $ \frac{z-x}{(y-x)(y-z)} = \frac{-(x-z)}{-(x-y)(y-z)} = \frac{x-z}{(x-y)(y-z)} $

Выражение принимает вид:

$ \frac{x-y}{(x-z)(y-z)} - \frac{y-z}{(x-y)(x-z)} + \frac{x-z}{(x-y)(y-z)} $

Общий знаменатель для этих дробей: $ (x-y)(y-z)(x-z) $.

Приведем дроби к общему знаменателю, домножив на недостающие множители:

$ \frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(y-z)(x-z)} - \frac{(y-z)(y-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)} + \frac{(x-z)(x-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)} $

Запишем все под одной дробной чертой:

$ \frac{(x-y)^2 - (y-z)^2 + (x-z)^2}{(x-y)(y-z)(x-z)} $

Раскроем квадраты в числителе:

$ (x^2 - 2xy + y^2) - (y^2 - 2yz + z^2) + (x^2 - 2xz + z^2) $

Упростим выражение, убрав скобки и приведя подобные слагаемые:

$ x^2 - 2xy + y^2 - y^2 + 2yz - z^2 + x^2 - 2xz + z^2 = 2x^2 - 2xy + 2yz - 2xz $

Вынесем общий множитель 2 и сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$ 2(x^2 - xy + yz - xz) = 2((x^2 - xz) - (xy - yz)) = 2(x(x-z) - y(x-z)) = 2(x-y)(x-z) $

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$ \frac{2(x-y)(x-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)} $

Сократим общие множители $ (x-y) $ и $ (x-z) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ x \neq y, x \neq z $):

$ \frac{2}{y-z} $

Ответ: $ \frac{2}{y-z} $