Номер 6.52, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.52. 1) $\frac{3}{2m + 6} - \frac{m - 2}{m^2 + 6m + 9}$;

2) $\frac{5 - a}{a^2 - 8a + 16} + \frac{6}{5a - 20}$;

3) $\frac{1}{2x + 2} - \frac{x - 1}{3x^2 + 6x + 3}$;

4) $\frac{4}{3m - 3n} + \frac{3m - n}{2m^2 - 4mn + 2n^2}$.

1)

Исходное выражение: $\frac{3}{2m+6} - \frac{m-2}{m^2+6m+9}$.

Сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $2m+6 = 2(m+3)$.

Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $m^2+6m+9 = (m+3)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{3}{2(m+3)} - \frac{m-2}{(m+3)^2}$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $2(m+3)$ и $(m+3)^2$ будет $2(m+3)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(m+3)$, для второй — $2$.

$\frac{3(m+3)}{2(m+3)^2} - \frac{2(m-2)}{2(m+3)^2} = \frac{3(m+3) - 2(m-2)}{2(m+3)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{3m+9 - (2m-4)}{2(m+3)^2} = \frac{3m+9 - 2m+4}{2(m+3)^2} = \frac{m+13}{2(m+3)^2}$.

Ответ: $\frac{m+13}{2(m+3)^2}$.

2)

Исходное выражение: $\frac{5-a}{a^2-8a+16} + \frac{6}{5a-20}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $a^2-8a+16 = (a-4)^2$.

Знаменатель второй дроби: $5a-20 = 5(a-4)$.

Выражение принимает вид: $\frac{5-a}{(a-4)^2} + \frac{6}{5(a-4)}$.

Наименьший общий знаменатель для $(a-4)^2$ и $5(a-4)$ будет $5(a-4)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $5$, для второй — $(a-4)$.

$\frac{5(5-a)}{5(a-4)^2} + \frac{6(a-4)}{5(a-4)^2} = \frac{5(5-a) + 6(a-4)}{5(a-4)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{25-5a + 6a-24}{5(a-4)^2} = \frac{a+1}{5(a-4)^2}$.

Ответ: $\frac{a+1}{5(a-4)^2}$.

3)

Исходное выражение: $\frac{1}{2x+2} - \frac{x-1}{3x^2+6x+3}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $2x+2 = 2(x+1)$.

Знаменатель второй дроби: $3x^2+6x+3 = 3(x^2+2x+1) = 3(x+1)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{1}{2(x+1)} - \frac{x-1}{3(x+1)^2}$.

Наименьший общий знаменатель для $2(x+1)$ и $3(x+1)^2$ будет $6(x+1)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $3(x+1)$, для второй — $2$.

$\frac{1 \cdot 3(x+1)}{6(x+1)^2} - \frac{2(x-1)}{6(x+1)^2} = \frac{3(x+1) - 2(x-1)}{6(x+1)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{3x+3 - (2x-2)}{6(x+1)^2} = \frac{3x+3-2x+2}{6(x+1)^2} = \frac{x+5}{6(x+1)^2}$.

Ответ: $\frac{x+5}{6(x+1)^2}$.

4)

Исходное выражение: $\frac{4}{3m-3n} + \frac{3m-n}{2m^2-4mn+2n^2}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $3m-3n = 3(m-n)$.

Знаменатель второй дроби: $2m^2-4mn+2n^2 = 2(m^2-2mn+n^2) = 2(m-n)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{4}{3(m-n)} + \frac{3m-n}{2(m-n)^2}$.

Наименьший общий знаменатель для $3(m-n)$ и $2(m-n)^2$ будет $6(m-n)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $2(m-n)$, для второй — $3$.

$\frac{4 \cdot 2(m-n)}{6(m-n)^2} + \frac{3(3m-n)}{6(m-n)^2} = \frac{8(m-n) + 3(3m-n)}{6(m-n)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{8m-8n + 9m-3n}{6(m-n)^2} = \frac{17m-11n}{6(m-n)^2}$.

Ответ: $\frac{17m-11n}{6(m-n)^2}$.