Номер 6.69, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.69. 1) $\frac{72a^4}{25b^5} \cdot \left(-\frac{5b^4}{27a^5}\right)$;

2) $-\frac{15m^4}{8n^6} \cdot \frac{16n^5}{25m^3}$;

3) $\frac{11a}{4b^2} : (22a^2)$;

4) $\frac{9p^2}{20q^3} : \frac{p^5}{16q}$.

1)

Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Знак произведения будет отрицательным, так как мы умножаем положительную дробь на отрицательную.

$ \frac{72a^4}{25b^5} \cdot \left(-\frac{5b^4}{27a^5}\right) = -\frac{72a^4 \cdot 5b^4}{25b^5 \cdot 27a^5} $

Теперь сократим числовые коэффициенты и переменные. Разложим числа на множители и применим свойства степеней ($ \frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}} $ при $ n>m $).

$ -\frac{(8 \cdot 9) \cdot 5 \cdot a^4 \cdot b^4}{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9) \cdot b^5 \cdot a^5} = -\frac{8 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{5}}{(5 \cdot \cancel{5}) \cdot 3 \cdot \cancel{9}} \cdot \frac{a^4}{a^5} \cdot \frac{b^4}{b^5} = -\frac{8}{15} \cdot \frac{1}{a^{5-4}} \cdot \frac{1}{b^{5-4}} = -\frac{8}{15ab} $

Ответ: $ -\frac{8}{15ab} $

2)

Умножаем числители и знаменатели, учитывая знак минус перед первой дробью.

$ -\frac{15m^4}{8n^6} \cdot \frac{16n^5}{25m^3} = -\frac{15m^4 \cdot 16n^5}{8n^6 \cdot 25m^3} $

Сократим числовые коэффициенты и переменные. Разложим числа на множители и применим свойства степеней ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $ при $ m>n $ и $ \frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}} $ при $ n>m $).

$ -\frac{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 8) \cdot m^4 \cdot n^5}{8 \cdot (5 \cdot 5) \cdot n^6 \cdot m^3} = -\frac{3 \cdot \cancel{5} \cdot 2 \cdot \cancel{8}}{\cancel{8} \cdot 5 \cdot \cancel{5}} \cdot \frac{m^4}{m^3} \cdot \frac{n^5}{n^6} = -\frac{6}{5} \cdot m^{4-3} \cdot \frac{1}{n^{6-5}} = -\frac{6m}{5n} $

Ответ: $ -\frac{6m}{5n} $

3)

Деление на выражение эквивалентно умножению на обратное ему выражение. Представим $ 22a^2 $ как дробь $ \frac{22a^2}{1} $.

$ \frac{11a}{4b^2} : (22a^2) = \frac{11a}{4b^2} : \frac{22a^2}{1} = \frac{11a}{4b^2} \cdot \frac{1}{22a^2} $

Умножаем дроби и проводим сокращение.

$ \frac{11a \cdot 1}{4b^2 \cdot 22a^2} = \frac{11 \cdot a}{4 \cdot (2 \cdot 11) \cdot b^2 \cdot a^2} = \frac{\cancel{11} \cdot a}{8 \cdot \cancel{11} \cdot b^2 \cdot a^2} = \frac{a}{8b^2a^2} = \frac{1}{8ab^2} $

Ответ: $ \frac{1}{8ab^2} $

4)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$ \frac{9p^2}{20q^3} : \frac{p^5}{16q} = \frac{9p^2}{20q^3} \cdot \frac{16q}{p^5} = \frac{9p^2 \cdot 16q}{20q^3 \cdot p^5} $

Сократим числовые коэффициенты и переменные.

$ \frac{9 \cdot (4 \cdot 4) \cdot p^2 \cdot q}{(5 \cdot 4) \cdot q^3 \cdot p^5} = \frac{9 \cdot 4}{5} \cdot \frac{p^2}{p^5} \cdot \frac{q}{q^3} = \frac{36}{5} \cdot \frac{1}{p^{5-2}} \cdot \frac{1}{q^{3-1}} = \frac{36}{5p^3q^2} $

Ответ: $ \frac{36}{5p^3q^2} $