Номер 6.83, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.83. 1) $ \frac{\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a}}{\frac{1}{1-a} - \frac{1}{1+a}} $

2) $ \frac{\frac{x}{x-1} - \frac{x+1}{x}}{\frac{x}{x+1} - \frac{x-1}{x}} $

3) $ \frac{x - \frac{ay}{y-a}}{y - \frac{ax}{x-a}}. $

1)

Данное выражение является многоэтажной дробью. Для его упрощения сначала выполним действия в числителе и знаменателе основной дроби, а затем выполним деление.

1. Упростим числитель: $ \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (1-a)(1+a) = 1-a^2 $:

$ \frac{1 \cdot (1+a)}{(1-a)(1+a)} + \frac{1 \cdot (1-a)}{(1+a)(1-a)} = \frac{1+a+1-a}{(1-a)(1+a)} = \frac{2}{1-a^2} $.

2. Упростим знаменатель: $ \frac{1}{1-a} - \frac{1}{1+a} $.

Общий знаменатель тот же, $ (1-a)(1+a) = 1-a^2 $:

$ \frac{1 \cdot (1+a)}{(1-a)(1+a)} - \frac{1 \cdot (1-a)}{(1+a)(1-a)} = \frac{(1+a)-(1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{1+a-1+a}{1-a^2} = \frac{2a}{1-a^2} $.

3. Теперь разделим результат, полученный в числителе, на результат, полученный в знаменателе:

$ \frac{\frac{2}{1-a^2}}{\frac{2a}{1-a^2}} $

Деление дробей заменяем на умножение, "перевернув" вторую дробь:

$ \frac{2}{1-a^2} \cdot \frac{1-a^2}{2a} $

Сокращаем $ 2 $ и $ (1-a^2) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{1}{a} $.

Область допустимых значений: $ 1-a \neq 0 \Rightarrow a \neq 1 $; $ 1+a \neq 0 \Rightarrow a \neq -1 $; знаменатель $ \frac{2a}{1-a^2} \neq 0 \Rightarrow a \neq 0 $.

Ответ: $ \frac{1}{a} $

2)

Упростим данное выражение, выполнив поочередно действия в числителе и знаменателе основной дроби.

1. Упростим числитель: $ \frac{x}{x-1} - \frac{x+1}{x} $.

Общий знаменатель: $ x(x-1) $.

$ \frac{x \cdot x}{x(x-1)} - \frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2 - (x^2 - 1^2)}{x(x-1)} = \frac{x^2 - x^2 + 1}{x(x-1)} = \frac{1}{x(x-1)} $.

2. Упростим знаменатель: $ \frac{x}{x+1} - \frac{x-1}{x} $.

Общий знаменатель: $ x(x+1) $.

$ \frac{x \cdot x}{x(x+1)} - \frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)} = \frac{x^2 - (x^2 - 1^2)}{x(x+1)} = \frac{x^2 - x^2 + 1}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} $.

3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{\frac{1}{x(x-1)}}{\frac{1}{x(x+1)}} = \frac{1}{x(x-1)} \cdot \frac{x(x+1)}{1} $

Сокращаем $ x $:

$ \frac{x+1}{x-1} $.

Область допустимых значений: $ x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $; $ x \neq 0 $; $ x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $.

Ответ: $ \frac{x+1}{x-1} $

3)

Упростим выражение, выполнив вычитание в числителе и знаменателе, а затем деление.

1. Упростим числитель: $ x - \frac{ay}{y-a} $.

Приведем к общему знаменателю $ y-a $:

$ \frac{x(y-a)}{y-a} - \frac{ay}{y-a} = \frac{xy - ax - ay}{y-a} $.

2. Упростим знаменатель: $ y - \frac{ax}{x-a} $.

Приведем к общему знаменателю $ x-a $:

$ \frac{y(x-a)}{x-a} - \frac{ax}{x-a} = \frac{yx - ya - ax}{x-a} = \frac{xy - ay - ax}{x-a} $.

3. Выполним деление полученных дробей:

$ \frac{\frac{xy - ax - ay}{y-a}}{\frac{xy - ay - ax}{x-a}} $

Заменим деление на умножение:

$ \frac{xy - ax - ay}{y-a} \cdot \frac{x-a}{xy - ay - ax} $

Числитель первой дроби и знаменатель второй дроби одинаковы ($ xy - ax - ay $), поэтому их можно сократить (при условии, что они не равны нулю).

$ \frac{x-a}{y-a} $.

Область допустимых значений: $ y-a \neq 0 \Rightarrow y \neq a $; $ x-a \neq 0 \Rightarrow x \neq a $; знаменатель $ y - \frac{ax}{x-a} \neq 0 \Rightarrow xy - ay - ax \neq 0 $.

Ответ: $ \frac{x-a}{y-a} $