Номер 6.41, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.41. При каких натуральных n значение дроби равно натуральному числу:

1) $ \frac{n+12}{n} $;

2) $ \frac{5n-9}{n} $;

3) $ \frac{n^2+2n+3}{n} $?

1) Чтобы значение дроби $\frac{n+12}{n}$ было натуральным числом, необходимо преобразовать данное выражение. Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{n+12}{n} = \frac{n}{n} + \frac{12}{n} = 1 + \frac{12}{n}$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Выражение $1 + \frac{12}{n}$ будет натуральным числом, если $\frac{12}{n}$ является натуральным числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 12.

Найдем все натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

При этих значениях $n$ исходное выражение будет принимать натуральные значения. Например, при $n=1$ значение равно $1+12=13$, при $n=12$ значение равно $1+1=2$.

Ответ: $n \in \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{5n-9}{n}$. Преобразуем ее, разделив числитель почленно на знаменатель:

$\frac{5n-9}{n} = \frac{5n}{n} - \frac{9}{n} = 5 - \frac{9}{n}$

Чтобы значение этого выражения было натуральным числом, должны выполняться два условия:

Во-первых, $\frac{9}{n}$ должно быть целым числом. Так как $n$ — натуральное число, это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 9. Натуральные делители числа 9: 1, 3, 9.

Во-вторых, результат вычитания $5 - \frac{9}{n}$ должен быть натуральным числом, то есть больше или равен 1:

$5 - \frac{9}{n} \ge 1$

$4 \ge \frac{9}{n}$

Так как $n$ — натуральное число ($n>0$), можно умножить обе части неравенства на $n$:

$4n \ge 9$

$n \ge \frac{9}{4}$

$n \ge 2,25$

Теперь выберем из найденных делителей числа 9 (1, 3, 9) те, которые удовлетворяют условию $n \ge 2,25$. Это числа 3 и 9.

Проверим найденные значения:

при $n=3$, значение равно $5 - \frac{9}{3} = 5-3=2$ (натуральное).

при $n=9$, значение равно $5 - \frac{9}{9} = 5-1=4$ (натуральное).

Ответ: $n \in \{3, 9\}$.

3) Преобразуем дробь $\frac{n^2+2n+3}{n}$:

$\frac{n^2+2n+3}{n} = \frac{n^2}{n} + \frac{2n}{n} + \frac{3}{n} = n + 2 + \frac{3}{n}$

Поскольку $n$ — натуральное число, $n+2$ всегда будет натуральным числом (так как $n \ge 1$, то $n+2 \ge 3$). Для того чтобы сумма $n + 2 + \frac{3}{n}$ была натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{3}{n}$ также было натуральным числом.

Это возможно, если $n$ является натуральным делителем числа 3. Натуральные делители числа 3 — это 1 и 3.

Проверим найденные значения:

при $n=1$, значение равно $1+2+\frac{3}{1} = 6$ (натуральное).

при $n=3$, значение равно $3+2+\frac{3}{3} = 6$ (натуральное).

Ответ: $n \in \{1, 3\}$.