Номер 6.42, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.42. Упростите выражение:

1) $\frac{a}{2x} - \frac{b}{3x^2}$;

2) $\frac{5x}{ab} + \frac{2y}{3a^2b} - \frac{3}{6a^2b^2}$;

3) $\frac{3x}{4a^2b} + \frac{5x}{2ab^2} - \frac{7}{6a^2b}$;

4) $\frac{5a}{6b^2c} - \frac{7b}{12ac^2} + \frac{11c}{18a^2b}$.

1) $ \frac{a}{2x} - \frac{b}{3x^2} $

Чтобы выполнить вычитание дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. Найдем наименьший общий знаменатель для $2x$ и $3x^2$.

Наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов 2 и 3 равно 6.

Наибольшая степень переменной $x$ в знаменателях - это $x^2$.

Следовательно, общий знаменатель равен $6x^2$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив общий знаменатель на знаменатель каждой дроби:

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{6x^2}{2x} = 3x $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{6x^2}{3x^2} = 2 $.

Теперь умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним вычитание:

$ \frac{a \cdot 3x}{6x^2} - \frac{b \cdot 2}{6x^2} = \frac{3ax - 2b}{6x^2} $

Ответ: $ \frac{3ax - 2b}{6x^2} $

2) $ \frac{5x}{ab} + \frac{2y}{3a^2b} - \frac{3}{6a^2b^2} $

Сначала упростим последнюю дробь, сократив ее на 3: $ \frac{3}{6a^2b^2} = \frac{1}{2a^2b^2} $.

Выражение принимает вид: $ \frac{5x}{ab} + \frac{2y}{3a^2b} - \frac{1}{2a^2b^2} $.

Найдем общий знаменатель для дробей со знаменателями $ab$, $3a^2b$ и $2a^2b^2$.

Наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов 1, 3 и 2 равно 6.

Наибольшая степень переменной $a$ - это $a^2$, а переменной $b$ - это $b^2$.

Общий знаменатель: $6a^2b^2$.

Найдем дополнительные множители:

Для $ \frac{5x}{ab} $: $ \frac{6a^2b^2}{ab} = 6ab $.

Для $ \frac{2y}{3a^2b} $: $ \frac{6a^2b^2}{3a^2b} = 2b $.

Для $ \frac{1}{2a^2b^2} $: $ \frac{6a^2b^2}{2a^2b^2} = 3 $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$ \frac{5x \cdot 6ab}{6a^2b^2} + \frac{2y \cdot 2b}{6a^2b^2} - \frac{1 \cdot 3}{6a^2b^2} = \frac{30abx + 4by - 3}{6a^2b^2} $

Ответ: $ \frac{30abx + 4by - 3}{6a^2b^2} $

3) $ \frac{3x}{4a^2b} + \frac{5x}{2ab^2} - \frac{7}{6a^2b} $

Найдем общий знаменатель для дробей со знаменателями $4a^2b$, $2ab^2$ и $6a^2b$.

Наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов 4, 2 и 6 равно 12.

Наибольшая степень переменной $a$ - это $a^2$, а переменной $b$ - это $b^2$.

Общий знаменатель: $12a^2b^2$.

Найдем дополнительные множители:

Для $ \frac{3x}{4a^2b} $: $ \frac{12a^2b^2}{4a^2b} = 3b $.

Для $ \frac{5x}{2ab^2} $: $ \frac{12a^2b^2}{2ab^2} = 6a $.

Для $ \frac{7}{6a^2b} $: $ \frac{12a^2b^2}{6a^2b} = 2b $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$ \frac{3x \cdot 3b}{12a^2b^2} + \frac{5x \cdot 6a}{12a^2b^2} - \frac{7 \cdot 2b}{12a^2b^2} = \frac{9bx + 30ax - 14b}{12a^2b^2} $

Для удобства записи можно переставить слагаемые в числителе:

$ \frac{30ax + 9bx - 14b}{12a^2b^2} $

Ответ: $ \frac{30ax + 9bx - 14b}{12a^2b^2} $

4) $ \frac{5a}{6b^2c} - \frac{7b}{12ac^2} + \frac{11c}{18a^2b} $

Найдем общий знаменатель для дробей со знаменателями $6b^2c$, $12ac^2$ и $18a^2b$.

Найдем НОК для коэффициентов 6, 12, 18. $6 = 2 \cdot 3$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК(6, 12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 36$.

Наибольшая степень переменной $a$ - $a^2$, переменной $b$ - $b^2$, переменной $c$ - $c^2$.

Общий знаменатель: $36a^2b^2c^2$.

Найдем дополнительные множители:

Для $ \frac{5a}{6b^2c} $: $ \frac{36a^2b^2c^2}{6b^2c} = 6a^2c $.

Для $ \frac{7b}{12ac^2} $: $ \frac{36a^2b^2c^2}{12ac^2} = 3ab^2 $.

Для $ \frac{11c}{18a^2b} $: $ \frac{36a^2b^2c^2}{18a^2b} = 2bc^2 $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$ \frac{5a \cdot 6a^2c}{36a^2b^2c^2} - \frac{7b \cdot 3ab^2}{36a^2b^2c^2} + \frac{11c \cdot 2bc^2}{36a^2b^2c^2} = \frac{30a^3c - 21ab^3 + 22bc^3}{36a^2b^2c^2} $

Ответ: $ \frac{30a^3c - 21ab^3 + 22bc^3}{36a^2b^2c^2} $